Objetivos:
Presentar los conceptos fundamentales de la mecánica de fluidos y de los medios continuos desde una perspectiva moderna y orientada a la física, utilizando herramientas de la física teórica, de la teoría de ecuaciones diferenciales y métodos numéricos. El curso introduce al estudiante en el análisis tensorial, las ecuaciones de los medios continuos como una teoría de campos clásicos, sus simetrías y sus leyes de conservación. Se abordan ondas no lineales, inestabilidades, y la teoría de bifurcaciones a través de ecuaciones de amplitud y análisis de puntos fijos. Se presentan aplicaciones en sistemas biológicos, teoría de ondas dispersivas y formas normales Hamiltonianas. El curso ofrece herramientas para estudiar campos clásicos acoplados, la formación de patrones, la dinámica no lineal y el surgimiento del caos.
Contenidos mínimos del plan de estudios:
Principios fundamentales de los medios continuos y los fluidos. Análisis tensorial. Teoría de los fluidos Eulerianos y viscosos. Puntos fijos, ondas, inestabilidades y bifurcaciones. Aplicaciones en física no lineal, biológica y de la materia blanda.
Programa:
- Los fluidos como una teoría de campos para medios continuos: Hipótesis del continuo. Descripciones Lagrangiana y Euleriana. Derivada material. Velocidad, densidad de masa y entropía. Tensor de esfuerzos. Ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes. Flujos compresibles e incompresibles. Vorticidad. Tensor de velocidad de deformación. Números adimensionales. Ecuación de Stokes.
- Simetrías e integrales primeras de las ecuaciones de movimiento: Simetrías de las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes. Ley de conservación del momento. Balance de energía. Teorema de Bernoulli. Teorema de Kelvin. Aplicación a acústica: Ecuación de Burgers como un ejemplo paradigmático de no-linealidad. Soluciones no lineales de ondas viajeras. Anomalía de disipación.
- Fluidos ideales y viscosos: Fluido ideal. Flujo bidimensional incompresible. Flujo potencial. Potencial complejo. Fuentes y vórtices puntuales. Teorema del círculo. Fórmula de Blasius. Fluidos viscosos. Flujos de Poiseuille y de Couette. Análisis dimensional y ley de semejanza. Teoría de perturbación singular y capa límite. Flujos a bajo número de Reynolds y aplicaciones biológicas. Teorema de Purcell de la venera.
- Inestabilidades, formación de patrones y ecuaciones de amplitud: Inestabilidad de Taylor–Couette. Ecuación de Rayleigh. Criterio de Rayleigh. Inestabilidad de Kelvin-Helmholtz. Convección de Rayleigh–Bénard. El sistema de Lorenz. Ecuaciones de amplitud. Teoría de bifurcaciones y breve introducción a formas normales. Bifurcaciones de pitchfork, Hopf, transcrítica y tangencial.
- Ondas, aguas poco profundas y solitones: Ondas de gravedad. Tensión superficial y capilaridad. Aguas poco profundas y muy profundas. Relación de dispersión. Ondas no lineales. Representación de interacción. Formulación Hamiltoniana. Ecuación de Korteweg-de Vries. Solitones. Ecuación de Schrödinger no-lineal. Inestabilidad de modulación.
- Introducción a flujos turbulentos: Transición a la turbulencia. Descomposición de Reynolds. Tensor de esfuerzos de Reynolds. Hipótesis de isotropía local. Turbulencia isótropa y homogénea. Espectro de Kolmogorov.