El primer parcial será el lunes 18 de mayo 9hs en el aula Magna del Pabellón 2(ATENCIÓN: Pabellón 2). Gracias!

Lautaro Cabral estará disponible para atender consultas el próximo viernes de 10 a 12hs. Federico Guglielmucci y Valentín Salari estarán también disponibles ese mismo día a partir de las 15hs. Consultar con ellos los lugares de encuentro. Gracias!

[Aquí] pueden encontrar un ejercicio resuelto por Federico Guglielmucci y Valentín Salari sobre medios magnéticos. Este ejercicio es muy útil para analizar cómo encarar este tipo de problemas.

Recordamos que mañana, lunes 11 de mayo, Luca estará disponible en la sala de estudio del Pab. 0+infinito (15-18hs) para responder dudas de problemas. Además, habrá otros horarios de consulta durante la semana y que se publicarán mañana. Gracias!

El primer parcial se tomará el día lunes 18 de mayo a las 9hs. El aula está a confirmar. Gracias.

Vimos que la Función de Green se define:

Y podemos calcular el potencial retardado como:

Para un dipolo en el origen a t’=0, el resultado que se observa es:

Hola! Les dejo este post para que vayan pensando en el resultado que obtuvimos al final de la última clase. Es un concepto que vamos a utilizar en la próxima clase y a lo largo del cuatrimestre.

Recordemos lo que vimos la última clase. La Función de Green dependiente del tiempo es la respuesta a una perturbación localizada en espacio tiempo, o sea, es función que resuelve:

$\bigg(\nabla^2 -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \bigg) G(\vec{r},t; \vec{r}’,t’)= -4 \pi \delta(\vec{r}-\vec{r}’)\delta(t-t’)$

En el caso del espacio no acotado, obtuvimos la solución:

$G_{\pm}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’) = \frac{\delta(t’-t \mp |\vec{r}-\vec{r}’|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}’|}$

Esta función es distinta de cero es dos situaciones:

(i) $t’= t+|\vec{r}-\vec{r}’|/c$ $\rightarrow t= t’-|\vec{r}-\vec{r}’|/c$ , esto implica que $t<t’$.

(ii) $t’= t-|\vec{r}-\vec{r}’|/c$ $\rightarrow t= t’+|\vec{r}-\vec{r}’|/c$, esto implica $t>t’$.

o sea, cuando $t-t’= \pm |\vec{r}-\vec{r}’|/c$. Es decir, la función de Green describe cómo una perturbación puntual en el espacio-tiempo se propaga respetando la estructura causal del espacio-tiempo. Es distinta de cero únicamente cuando el evento fuente y el evento observador están conectados por una señal que viaja a velocidad $c$.

Recordemos que $(\vec{r},t)$ son coordenadas espacio temporales del observador mientras que $(\vec{r}’,t’)$ son coordenadas espacio temporales de la fuente. En (i) y (ii) vemos que hay dos posibilidades.

$G_{+}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’)$ (retardada) es la solución en $(\vec{r},t)$ si existe una fuente en $(\vec{r}’,t’)$. Es no nula cuando $t= t’+|\vec{r}-\vec{r}’|/c$, describe la propagación de un evento ocurrido en $(\vec{r}’,t’)$ hacia adelante en $t$ con velocidad $c$

$G_{-}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’)$ (avanzada) es la solución en $(\vec{r},t)$ si existe una fuente en $(\vec{r}’,t’)$. Es no nula cuando $t= t’-|\vec{r}-\vec{r}’|/c$, describe la propagación de un evento ocurrido en $(\vec{r}’,t’)$ hacia atrás en $t$ con velocidad $c$.

Imaginemos una carga $q$ en el origen que se “prende” a $t’=0$, $\rho(\vec{r}’,t’)=q \delta(\vec{r}’-0) \delta(t’-0)$. El potencial retardado para $t>0$ será

$\phi_{\rm retardado}= \int dV’~\int ~dt’ ~\rho(\vec{r}’,t’)~G_{+}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’) = q/r \delta(t – r/c)$

Es decir que una perturbación en el origen genera un pulso esférico a velocidad $c$.

El gráfico muestra cómo una perturbación puntual en el origen se propaga en el espacio. En cada instante $t$, la señal sólo existe sobre una esfera de radio $r=c*t$.

En este gráfico se muestran dos observadores ubicados a distancias $r=3$y $r=7$. Cada uno recibe la señal en un instante distinto.

La ecuación de onda es simétrica en el tiempo, por lo que admite dos soluciones posibles. Estas corresponden a las dos condiciones $t-t’= \pm |\vec{r}-\vec{r}’|/c$

La solución retardada corresponde al caso $t>t′$, donde el efecto ocurre después de la causa: una perturbación generada en el evento fuente $(\vec{r}′,t′)$ se propaga hacia el futuro y es detectada en $(\vec{r},t)$ en un tiempo posterior.

En cambio, la solución avanzada corresponde al caso $t<t′$, donde el efecto ocurre antes de la causa: la señal parecería propagarse hacia el pasado.

Si fijamos el evento fuente en $(\vec{r}′,t′)$, entonces el futuro está dado por $t>t′$, donde vive la solución retardada; el pasado está dado por $t<t′$, donde vive la solución avanzada; y el presente corresponde a $t=t′$, donde ocurre la perturbación.

Estas dos soluciones se interpretan geométricamente en términos de los conos de luz: la solución retardada está asociada al cono de luz futuro, mientras que la solución avanzada está asociada al cono de luz pasado.

Ojalá esto les sirva para terminar de cerrar la idea. Nos encontramos en el aula el lunes y seguimos con más ejemplos.

Avisamos que mañana no habrá clases (teóricas y prácticas) por paro docente y no docente. Las clases se retomarán el lunes 4 de mayo.

Vimos que los campos transportan energía y momento. Aquí les queda un ejemplo para pensar:

Una esfera de radio a con carga $Q$ en superficie y magnetización $\vec{M}=m\hat{z}$ en su interior. El campo eléctrico $\vec{E}= \frac {Q}{r^2} \hat{r}$ r >a.

El campo magnético es
$\mathbf{B} =\begin{cases}
\dfrac{8\pi}{3c}\,m \hat{z}, & r < a, \\[6pt]
\dfrac{m}{c\,r^3}\,\big(2\cos\theta\,\hat{\mathbf{r}} + \sin\theta\,\hat{\boldsymbol{\theta}}\big), & r > a.
\end{cases}$

La presencia de ambos campos permite calcula $L_{\rm EM}= \frac{1}{4\pi c}(\vec{E} \times \vec{B})$.

En este sistema se cumple la conservación del momento angular total, entendido como la suma de la contribución mecánica y la electromagnética:$$\frac{d}{dt}\left(\mathbf L_{\text{EM}} + \mathbf L_{\text{mec}}\right)=0,$$ya que no hay flujo de momento angular hacia el infinito ¿Por qué?

Inicialmente, el sistema posee un momento angular electromagnético distinto de cero, debido a la coexistencia de los campos eléctrico (generado por la carga superficial) y magnético (producido por la magnetización).

Cuando la magnetización comienza a disminuir en el tiempo, el campo magnético se vuelve dependiente del tiempo y, por la ley de Faraday, se induce un campo eléctrico azimutal. Este campo eléctrico inducido genera un torque ¿Cómo es el campo, donde actúa?

Como consecuencia, la esfera adquiere momento angular mecánico. Este momento angular proviene de la disminución del momento angular electromagnético almacenado en el campo, de modo que:$$\Delta \mathbf L_{\text{mec}} = – \Delta \mathbf L_{\text{EM}}.$$

En Material Adicional se agregó un archivo con propiedades útiles para separación en coordenadas cartesianas, esféricas y cilíndricas.