Para este mes de diciembre las fechas y horarios de final van a ser los siguientes:
jueves 11/12 de 14 a 19hs viernes 19/12 de 16 a 21hs lunes 22/12 de 9 a 14hs
Si quieren rendir en alguna de estas fechas, por favor escríbanme por lo menos 3 días antes. No va a haber inscripción por siu, lo haremos por mail.
El final va a tener una parte escrita donde les voy a pedir que desarrollen un tema en detalle, y una parte oral donde les voy a preguntar sobre lo que escribieron. Todos los temas del programa de la materia (es decir, todo lo que vimos en clase) son susceptibles de entrar. La bibliografía que seguí durante las clases es la que está recomendada en esta página, especialmente Tong, Huang, Pathria y Callen. También, si hay algo que no se entiende ni de mis clases ni de ninguno de esos 4 libros, una alternativa que pueden consultar es el Peliti, también recomendado.
Como ya se viene el segundo parcial, este lunes (1/12) van a tener todo práctica, desde las 9hs. Hoy en la teórica dije que el lunes iba a dar un resumen de lo que habíamos visto, pero he decidido cambiar de planes porque ahora lo más importante son las consultas y la preparación del parcial.
En la teórica de hoy hablamos de la primera obtención experimental de un condensado de Bose-Einstein. Eso fue en 1995, 70 años después de que Einstein predijera este fenómeno, y lo lograron dos equipos: el de Eric Cornell y Carl Wieman, de la universidad de Colorado Boulder (el de la izquierda y el de la derecha de la foto respectivamente), y el de Wolfgang Ketterle, del MIT (el del medio). Por ese hallazgo, los tres físicos ganaron el Nobel en 2001. Lograr un condensado requirió llegar a temperaturas del orden del nanokelvin, 9 ordenes de magnitud por debajo de la temperatura del espacio exterior (o la temperatura a la que se licúa el helio). Para aprender más sobre las técnicas que usaron para llegar a tan bajas temperaturas, recomiendo ver la charla Nobel de Carl Wieman. Y para aprender sobre cosas que se pueden hacer con un condensado, como la interferencia cuántica macroscópica que discutimos en clase, recomiendo ver la charla Nobel de Ketterle.
Por último, en la clase de hoy hablamos un poquito de superconductores y superfluidos. Acá tienen un video para ver algunas de las cosas locas que hace el helio superfluido:
En la teórica del miércoles pasado estuvimos hablando de magnetismo de fermiones, y nos restringimos al caso 2D porque es un poco más simple. Dijimos que, en ese caso, el momento magnético total debido a la interacción spin-campo magnético se puede calcular exactamente para todo valor de la temperatura y el campo magnético, pero dejé esta cuenta para ustedes. El alumno Agustín De Leonardis hizo la cuenta y graficó los resultados. Están en este colab. Gracias Agustín!
Ahora que ya terminamos con la ecuación de Boltzmann, es buen momento para hablar de historia de la física estadística.
Los padres de la física estadística son tres: Maxwell, Boltzmann y Gibbs.
Maxwell dio el puntapié inicial con su distribución para las velocidades de las partículas de un gas, luego llamada distribución de Maxwell-Boltzmann. Eso fue en 1860, unos diez años después de que se formulara la segunda ley de la termodinámica… Y cinco años antes de que Clausius introdujera la noción de entropía! Eso nos habla de lo pegadas en el tiempo que están la termodinámica y la física estadística: no se desarrollaron en épocas claramente separadas, sino que lo hicieron casi al mismo tiempo. Por otra parte, una nota de color (nunca mejor dicho): en 1861, un año después de que Maxwell descubriera su distribución, se publicó la primera foto en color de la historia aplicando un método ideado por el propio Maxwell:
Boltzmann hizo muchísimo por la distribución de Maxwell-Boltzmann: primero de todo obtuvo su ecuación dinámica para la función de distribución (la ecuación de Boltzmann), y con esa ecuación pudo ver que la distribución de Maxwell-Boltzmann se preserva en el tiempo, como vimos en clase. No sólo eso: también probó el teorema H (que no hemos llegado a discutir en clase), de donde se sigue que toda distribución inicial evoluciona con el tiempo hacia la de Maxwell-Boltzmann. Todo eso fue en 1872. Poco después, en 1877, Boltzmann introdujo su fórmula para la entropía:
En realidad, Boltzmann sólo dijo que la entropía es proporcional al logaritmo del número de microestados, no se preocupó por la constante de proporcionalidad. El primero en ver que esa constante es la misma que aparece en la ecuación de estado del gas ideal fue Planck, en su paper famoso sobre la radiación de cuerpo negro. Y fue el propio Planck el que sugirió grabar la fórmula en la lápida de Boltzmann (foto) cuando éste murió en 1906.
Ah, la muerte de Boltzmann… Boltzmann se suicidó. No se sabe qué causas lo llevaron a esta muerte trágica, pero es posible que tengan algo que ver los ataques que recibieron sus ideas. Eran tiempos en que la teoría atómica no estaba bien establecida, y tenía en contra a gente de renombre como el filósofo Ernst Mach, muy influyente en esa época. No fue hasta principios del siglo XX, con el trabajo de Einstein sobre el movimiento browniano y los experimentos posteriores de Jean Perrin, que la teoría atómica fue aceptada mayoritariamente.
Por último, Gibbs. En 1902, Gibbs introdujo los ensambles canónico y grancanónico, y se dio cuenta de que en todos los ensambles la entropía se podía escribir como
S=-k Σpi log pi,
fórmula que mucho después Shannon convertiría en la base de su teoría de la información. También vio que cada ensamble se obtiene maximizando esta cantidad sujeta a distintos vínculos, aunque no le dio un rol central a esta idea. Ese rol central se lo dio Jaynes mucho tiempo después, en 1957. La forma como nosotros introdujimos los ensambles es básicamente el enfoque de Jaynes.
La teórica tendrá la duración habitual, la práctica terminará a las 13, que es cuando la facultad suspende las actividades para que vayamos a la marcha.
La semana que viene es la RAFA, a la que quizá asistan algunos de ustedes. Para que no pierdan el ritmo de la materia les cuento lo que vamos a ver en la teórica: sistemas de partículas clásicas, en particular el gas ideal. Esto nos va a llevar a la paradoja de Gibbs y la necesidad de que las partículas de un gas sean indistinguibles. En este contexto también vamos a ver el teorema de equipartición y sus aplicaciones a sólidos y gases poliatómicos. Por último, veremos cómo las predicciones del teorema de equipartición no se cumplen a temperaturas bajas, indicando que ahí se vuelven relevantes los efectos cuánticos. Lecturas para aprender estos temas: Tong secciones 2.1-2.4, Callen 15-5, 16-10 y 16-11, Huang capítulo 6.
Si quieren profundizar un poco en lo que vimos la clase pasada de entropía estadística, pueden consultar el libro de Balian (ver la bibliografía complementaria), sección 3.1. Y si les interesa lo último que vimos, la teoría de la información, qué mejor que leer el paper original de Shannon (el de la foto). Es muy ameno y fácil de leer, para ser un paper. Por otra parte, si se quedaron con ganas de más respecto a lo que vimos la clase anterior, es decir, función generatriz, ley de grandes números y teorema central del límite, un buen lugar donde leer sobre eso es la sección 1 del libro Temas avanzados de termodinámica, de Esteban Calzetta. Como su título indica, el libro es sobre temas más avanzados que los que vemos en esta materia, pero la sección 1 (probabilidad) es muy sencilla y fácil de leer.
En la clase de hoy hemos discutido la ley de grandes números y el teorema central del límite, en una versión levemente restringida. Al final de la clase les quería mostrar algunos gráficos, pero no lo pude hacer por problemas técnicos. Ahí van.
Consideremos un experimento con dos resultados posibles, éxito y fracaso, y supongamos que la probabilidad de éxito es p. Si repito N veces el experimento, la frecuencia (fracción de veces) con que aparece el resultado éxito es una variable aleatoria. En el límite cuando N tiende a infinito, esta variable se vuelve determinista y su valor es p con probabilidad 1. Esto es la ley de grandes números. Acá tienen unos gráficos que permiten visualizar este resultado con p=0.8. A medida que aumenta N, la distribución para la frecuencia se vuelve más y más estrecha.
Si N es muy grande pero no lo mando a infinito, entonces la frecuencia es aproximadamente una variable gaussiana de valor medio p y varianza p(1-p)/N. Esto es el teorema central del límite. Para verlo, comparamos los gráficos anteriores con la gaussiana del teorema, y hacemos zoom cerca del pico para aumentar la resolución.
La termodinámica moderna nace con Sadi Carnot (el joven de la foto). Ingeniero y militar francés vinculado a la revolución francesa (su padre había formado parte del gobierno de la revolución, y él sirvió como militar para Napoleón), se interesó por las máquinas de vapor y escribió un libro, Réflexions sur la puissance motrice du feu (1824), con un análisis teórico* de los límites de su eficiencia. En este libro, Carnot ideó el ciclo reversible que lleva su nombre (expansión isoterma en contacto con un reservorio caliente, expansión adiabática, compresión isoterma en contacto con un reservorio frío, compresión adiabática), y argumentó que no era posible un ciclo más eficiente, porque si lo hubiera se podría combinar con éste para transferir “calórico” de una fuente fría a una caliente (lo cual consideraba imposible porque el calórico siempre “caía” de los cuerpos calientes a los fríos). Es decir, Carnot dio en el clavo! Básicamente, entendió cuáles son las limitaciones universales para una máquina térmica, sólo que lo hizo con una descripción incorrecta de lo que es el calor. Según Carnot y sus contemporáneos, el calor era una sustancia (este “calórico”) que se transfería de los cuerpos calientes a los fríos. Esta idea fue rebatida por el inglés James Joule en la década de 1840, con una serie de experimentos en los que demostraba que el calor no era una sustancia sino una forma de transferir energía. En el experimento más famoso, Joule introdujo unas paletas en un recipiente lleno de agua, unidas a un peso mediante una soga (ver la imagen de abajo). Dejando caer el peso, las paletas giran y calientan el agua. El descubrimiento de Joule es lo que hoy conocemos como la primera ley de la termodinámica.
El libro de Carnot de 1824 pasó desapercibido, y Carnot murió en 1832, a la edad de 36 años, sin saber del gran impacto que iban a tener sus ideas. Dos años después de su muerte, en 1834, otro ingeniero francés, Émile Clapeyron, publicó un comentario sobre las Réflexions que dio visibilidad al libro. El alemán Rudolf Clausius y el británico William Thomson (más conocido como Lord Kelvin) leyeron el comentario de Clapeyron y se interesaron por la obra de Carnot. Fueron ellos dos, por separado, quienes, alrededor de 1850, adaptaron las ideas de Carnot a la descripción de Joule de lo que es el calor, dando origen a la segunda ley de la termodinámica. El nombre “termodinámica” fue acuñado por Kelvin en 1849; la entropía fue introducida por Clausius en 1865.
En la década de 1870, el norteamericano Josiah Willard Gibbs extendió el dominio de aplicación de la termodinámica, aplicándola al estudio de las reacciones químicas. En ese proceso introdujo conceptos como el potencial químico, la entalpía y la energía libre de Gibbs, y dio una descripción algo más formal de la termodinámica, un poco más parecida a la que vimos en clase.
*Fe de erratas: en clase dije que creía que la contribución original de Carnot había sido experimental; no es cierto, fue teórica. También dije que Carnot había sido enviado a Inglaterra por el rey de Francia en la época de la restauración borbónica; si bien esto se dice en algunas referencias, no es un hecho contrastado.
