[Aquí] pueden bajar un apunte escrito al estilo que era de uso en el segundo cuatrimestre del año pasado. El apunte es acerca del problema que vimos hoy en la práctica. No hay muchos más problemas en la guía que puedan hacer con lo visto hasta ahora, a menos que tomen la iniciativa y apliquen lo aprendido en las teóricas. Pueden hacer el problema 2 (un sistema de osciladores cuánticos) y el problema 7 (el problema de los grafos). En la guía anterior ya introdujimos los grafos. [Aquí] y [aquí] tienen otros problemas con grafos que también pueden hacer. El problema 2 de [este parcial] está relacionado con un problema de la Guía 2; también lo pueden hacer.
[Aquí] pueden bajar el apunte que corresponde a la clase práctica de hoy. El problema de los desarreglos aparecía comúnmente en los libros en situaciones en las que un grupo de caballeros dejaba sus sombreros en el guardarropa de un teatro, para que luego los sombreros les fueran devueltos al azar por un empleado negligente. La imaginación de los matemáticos es inagotable, de manera que en estos problemas también era personaje frecuente el paraguas.
Problemas de la guía que se pueden resolver con el principio de inclusión-exclusión: el 2d y 2f, el 6c, el 12 y el 14.
La clase que viene empezamos la Guía 3, así que vayan pensando en redondear la Guía 2. El menos urgente de los problemas de la Guía 2 es el de los pistoleros daneses.
Si quieren profundizar un poco en lo que vimos la clase pasada de entropía estadística, pueden consultar el libro de Balian (ver la bibliografía complementaria), sección 3.1. Y si les interesa lo último que vimos, la teoría de la información, qué mejor que leer el paper original de Shannon (el de la foto). Es muy ameno y fácil de leer, para ser un paper. Por otra parte, si se quedaron con ganas de más respecto a lo que vimos la clase anterior, es decir, función generatriz, ley de grandes números y teorema central del límite, un buen lugar donde leer sobre eso es la sección 1 del libro Temas avanzados de termodinámica, de Esteban Calzetta. Como su título indica, el libro es sobre temas más avanzados que los que vemos en esta materia, pero la sección 1 (probabilidad) es muy sencilla y fácil de leer.
[Aquí] pueden bajar los apuntes de la clase práctica de hoy. Hay algunos problemas más que los que llegamos a ver, y está también el principio de inclusión-exclusión, que se usa en varios problemas. Lo vamos a ver el lunes que viene, pero es fácil de entender, así que no pierden nada con verlo ahora.
Un consejo amigo: abandonen en el acto la Guía 1. Empiecen la Guía 2. Es una guía intensa, pero divertida. Con lo que vimos hoy en clase, pueden hacer hasta el problema de los grafos (en un caso hay que aplicar el principio de inclusión-exclusión).
[Aquí] pueden ver el Colab que preparó Agustín para la clase del miércoles pasado. Se trata del problema 11 de la Guía 1. [Aquí] pueden bajar un apunte vintage. Además:
Continúan las negociaciones para reabrir la inscripción a la materia.
Inminente aparición de la Guía 2, recauchutada a nuevo.
En la clase de hoy hemos discutido la ley de grandes números y el teorema central del límite, en una versión levemente restringida. Al final de la clase les quería mostrar algunos gráficos, pero no lo pude hacer por problemas técnicos. Ahí van.
Consideremos un experimento con dos resultados posibles, éxito y fracaso, y supongamos que la probabilidad de éxito es p. Si repito N veces el experimento, la frecuencia (fracción de veces) con que aparece el resultado éxito es una variable aleatoria. En el límite cuando N tiende a infinito, esta variable se vuelve determinista y su valor es p con probabilidad 1. Esto es la ley de grandes números. Acá tienen unos gráficos que permiten visualizar este resultado con p=0.8. A medida que aumenta N, la distribución para la frecuencia se vuelve más y más estrecha.
Si N es muy grande pero no lo mando a infinito, entonces la frecuencia es aproximadamente una variable gaussiana de valor medio p y varianza p(1-p)/N. Esto es el teorema central del límite. Para verlo, comparamos los gráficos anteriores con la gaussiana del teorema, y hacemos zoom cerca del pico para aumentar la resolución.
La termodinámica moderna nace con Sadi Carnot (el joven de la foto). Ingeniero y militar francés vinculado a la revolución francesa (su padre había formado parte del gobierno de la revolución, y él sirvió como militar para Napoleón), se interesó por las máquinas de vapor y escribió un libro, Réflexions sur la puissance motrice du feu (1824), con un análisis teórico* de los límites de su eficiencia. En este libro, Carnot ideó el ciclo reversible que lleva su nombre (expansión isoterma en contacto con un reservorio caliente, expansión adiabática, compresión isoterma en contacto con un reservorio frío, compresión adiabática), y argumentó que no era posible un ciclo más eficiente, porque si lo hubiera se podría combinar con éste para transferir “calórico” de una fuente fría a una caliente (lo cual consideraba imposible porque el calórico siempre “caía” de los cuerpos calientes a los fríos). Es decir, Carnot dio en el clavo! Básicamente, entendió cuáles son las limitaciones universales para una máquina térmica, sólo que lo hizo con una descripción incorrecta de lo que es el calor. Según Carnot y sus contemporáneos, el calor era una sustancia (este “calórico”) que se transfería de los cuerpos calientes a los fríos. Esta idea fue rebatida por el inglés James Joule en la década de 1840, con una serie de experimentos en los que demostraba que el calor no era una sustancia sino una forma de transferir energía. En el experimento más famoso, Joule introdujo unas paletas en un recipiente lleno de agua, unidas a un peso mediante una soga (ver la imagen de abajo). Dejando caer el peso, las paletas giran y calientan el agua. El descubrimiento de Joule es lo que hoy conocemos como la primera ley de la termodinámica.
El libro de Carnot de 1824 pasó desapercibido, y Carnot murió en 1832, a la edad de 36 años, sin saber del gran impacto que iban a tener sus ideas. Dos años después de su muerte, en 1834, otro ingeniero francés, Émile Clapeyron, publicó un comentario sobre las Réflexions que dio visibilidad al libro. El alemán Rudolf Clausius y el británico William Thomson (más conocido como Lord Kelvin) leyeron el comentario de Clapeyron y se interesaron por la obra de Carnot. Fueron ellos dos, por separado, quienes, alrededor de 1850, adaptaron las ideas de Carnot a la descripción de Joule de lo que es el calor, dando origen a la segunda ley de la termodinámica. El nombre “termodinámica” fue acuñado por Kelvin en 1849; la entropía fue introducida por Clausius en 1865.
En la década de 1870, el norteamericano Josiah Willard Gibbs extendió el dominio de aplicación de la termodinámica, aplicándola al estudio de las reacciones químicas. En ese proceso introdujo conceptos como el potencial químico, la entalpía y la energía libre de Gibbs, y dio una descripción algo más formal de la termodinámica, un poco más parecida a la que vimos en clase.
*Fe de erratas: en clase dije que creía que la contribución original de Carnot había sido experimental; no es cierto, fue teórica. También dije que Carnot había sido enviado a Inglaterra por el rey de Francia en la época de la restauración borbónica; si bien esto se dice en algunas referencias, no es un hecho contrastado.
