Condición de borde de impedancia

Hay problemas físicos donde la condición de borde (o de extremo en el caso 1D) no se expresa ni fijando el valor de la función (caso de soga con extremo fijo) ni el valor de la derivada (extremo libre sin masa). Por ejemplo, para una soga con una masa M en el extremo derecho, la condición de borde se puede escribir como una proporcionalidad entre la función y su derivada en en x=L. Estas condiciones que mezclan función y derivada se conocen en algunas áreas de la física como condiciones de borde de Robin y en otras como condiciones de impedancia.

Notar que si el extremo izquierdo en x=0 está fijo, los modos siguen siendo funciones sinusoidales de kx (lo mismo que cuando M era 0). Pero con una diferencia: los valores del k adimensional K=kL ya no son raíces del coseno (la derivada del seno), sino que son raíces de la ecuación trascendente

F(K) = cos K + K P sen (K)

donde el parámetro adimensional P = M / (ρ L) es el cociente entre la masa del extremo y la masa total de la soga.

Esta animación muestra cómo cambian los K_n adimensionales de los modos a partir del caso “analítico” P=0, donde los K_n adimensionales son múltiplos impares de π/2, hasta el caso P=0.3, donde el extremo tiene masa apreciable (casi un tercio de la masa total de la soga).

Aumentando mucho P, deberíamos encontrar las raíces del seno, no es cierto? Pero por esas cosas de la física computacional, a partir de un cierto valor de P conviene buscar los ceros de

G(K) = (cos K ) / (K P) + sen (K) ,

que está servida para dar las raíces del seno cuando P→∞.

Si llegaste hasta acá, tenés la obligación moral de demostrar todo lo que estuviste leyendo. Y así, estar mejor preparado para luego reflexionar sobre los siguientes puntos:

• ¿Qué pasa con las series de Fourier que venimos usando hasta ahora?
• ¿Cuáles son las funciones ortogonales que permiten resolver en forma completa el problema de condiciones iniciales?
• ¿La evolución temporal es periódica?
• Observar más abajo la forma de algunos modos (para P=1). ¿Cuántos nodos tiene cada modo? Comparar con los casos “fáciles”. Dar argumentos físicos (es decir, más allá de que “así da la cuenta”) sobre el cambio en la posición de los nodos con el valor del parámetro P.