Autor: Luca Javier Gomez Bachar

Palpitando el fin de semana, el título de este post no solo pretende ser sencillo para motivarlxs a entrar a leerlo, sino que además pega bien con lo que representa: un mix que sirve. Además de información que pretende ser útil, a lo largo de este post encontrarán algunas referencias que pueden ser de interés. También encontrarán varias preguntas conceptuales sencillas que deberían (¿?) poder responder rápidamente. Obviamente pueden consultar al respecto si no entienden alguna 🙂

En las últimas clases estuvimos aprendiendo, recordando y mejorando varios métodos que podemos utilizar para resolver problemas de electro/magneto-stática. La cantidad de métodos y tipos de problemas diferentes puede hacer que encarar los problemas sea un poco frustrante (casi tanto como hacer un doctorado). Así que la idea de este posteo es organizar un poco la información para tratar de aclarar algunas cuestiones.

En primer lugar siempre hay que tener claro que el objetivo final de los métodos es calcular los potenciales, usando como datos las distribuciones de carga/corriente, junto con las condiciones de contorno. En este contexto, los métodos de imágenes y separación de variables nos sirven de forma directa, mientras que el método de la función de Green requiere que conozcamos algo más (¿qué cosa? ¿de qué depende?). Repasemos brevemente estos métodos y tratemos de organizarlos, con el fin de ganar un poco de intuición y que cada quien pueda elegir su camino para resolver los problemas.

Método de imágenes

Este método se basa en reemplazar un contorno complicado por una configuración que sabemos calcular. Por ejemplo, pensemos en el caso de una partícula frente a una esfera puesta a tierra. Supongamos que nos piden calcular el campo en todo el espacio. Dentro de la esfera a tierra no hay mucho que hacer: pueden mostrar fácilmente que la solución es que el potencial sea cero (¿se les ocurren al menos dos justificaciones diferentes? ¿Usaron simetría? ¿El problema tiene simetría esférica?). Ahora, fuera de la esfera, la cosa cambia: la carga genera un potencial no nulo, pero además, la esfera a tierra responde ante la carga puntual adquiriendo una carga inducida para garantizar que el potencial siga siendo cero en su superficie. Esta carga adquirida genera un potencial adicional que contribuye al resultado fuera de la esfera. La carga inducida no es un dato del problema, esto sería una condición de contorno de Neuman, y en este caso tenemos condición de tipo Dirichlet, así que calcular el potencial generado por la esfera puede ser complicado. Para resolver esto usamos un truco:

Nos interesa el campo por afuera de la esfera (el interior ya lo calculamos). Llamemos V a la región exterior a la esfera. Ya sabemos que las ecuaciones de Maxwell nos dan el rotor y la divergencia de los campos, y que, dadas condiciones de contorno, el teorema de Helmholtz nos garantiza la unicidad de la solución (podríamos pensar de forma análoga para la ecuación de Laplace). Entonces, nos podemos inventar la configuración que se nos ocurra, y mientras que esta nueva configuración respete que las densidades sean las mismas dentro de V y las condiciones de contorno sean las mismas en la frontera de V, por unicidad, los campos serán los mismos dentro de V. Entonces simplemente cambiamos la esfera a tierra por una segunda carga que cumpla con todo esto y listo, ahora el camino es recto (y no hacia la desesperación). El contorno complicado desapareció y ahora calculamos el potencial como la contribución de dos cargas puntuales. Obviamente nuestra solución no tiene sentido fuera de V ya que las densidades cambiaron, y por lo tanto las ecuaciones de Maxwell también.

Separación de variables

Este método tiene un enfoque diferente. En este caso explotamos el hecho de que suele ser fácil resolver la ecuación de Laplace (pero no la de Poisson). Entonces, separamos el recinto que nos den de forma inteligente para dejar todas las densidades contenidas en fronteras. Luego, en cada región, escribimos la solución general a la ecuación de Laplace y al final de todo “pegamos” las soluciones usando continuidad y salto del campo (¿Podemos usar este método si las densidades son tridimensionales? ¿Y si no respetan la simetría de los recintos?) En nuestro ejemplo de la esfera a tierra con una carga puntual, elegimos como frontera una superficie esférica que contenga a nuestra carga. Por la forma en que dividimos el recinto, tenemos condiciones de contorno que definen un problema de Sturm-Liouville en las direcciones angulares (¿cuáles son estas condiciones de contorno?). Entonces, como ya vieron, podemos desarrollar el potencial en la base de armónicos esféricos.

Volviendo sobre las preguntas del párrafo anterior, ¿qué pasa si ahora en lugar de una carga puntual nos dan otra distribución? Si esa distribución es un casquete esférico (o una parte de este) esta estrategia funciona igual. Pero, si nos dan una densidad que no podemos contener en una superficie esférica, aparentemente puede ser útil considerar un nuevo método: el de la función de Green.

Método de la función de Green

Esté método nos permite resolver una cantidad mayor de problemas que los anteriores con una idea muy sencilla. En general, los contornos a determinado potencial nos proveen condiciones de contorno pero complican los problemas. Esto pasa porque adquieren cargas inducidas para que el potencial valga lo que tenga que valer, pero estas cargas no son un dato del problema. Entonces, calcular el campo producido por las cargas inducidas no es fácil, a priori. Sin embargo, inspirándonos en el principio de superposición, podríamos pensar que el recinto que estamos considerando tiene una determinada “respuesta” ante la presencia de una carga puntual en alguna posición. Luego, esta respuesta puede actuar como una función de peso para calcular el potencial sumando (o integrando) sobre una distribución continua. Esta función que nos dice como responde el recinto ante una carga puntual es la función de Green, y en caso de que las condiciones de contorno correspondan al valor del potencial en la frontera del recinto, es la función de Green de tipo Dirichlet.

Ustedes vieron en clase que la solución para el potencial en términos de la función de Green contiene integrales en superficie. (¿Bajo qué condiciones no es necesario calcular esos términos?) Pista: si las fronteras del recinto están a potencial cero, vale que tanto el potencial como la función de Green valen cero sobre dicha superficie. Asumiendo que la solución del potencial en términos de la función de Green consiste solo de la integral en volumen, noten que esta integral está teniendo en cuenta la contribución de cada carga puntual con una función de peso que depende unicamente del recinto.

Si el recinto es el espacio libre, no queda otra que

para que el potencial sea la integral de Poisson de toda la vida. Ahora, si el recinto cambia, esta función también, y entonces al pesar correctamente la contribución de cada carga de nuestra distribución, obtenemos el valor correcto para el potencial generado en el recinto que nos interese. Entonces, dado un problema de alguna distribución contenida en algún recinto arbitrario, para usar el método de la función de Green debemos conocer dicha función. Si no la conozco la puedo calcular, ya sea por imágenes o separación de variables.

Les proponemos un ejercicio para ganar un poquito de intuición: ¿se animan a dibujar, de forma aproximada, las líneas equipotenciales para el problema de la carga puntual frente a la esfera a tierra? (¿Cómo se relaciona este dibujo con la función de Green?) En este link les dejamos un gráfico de dichas lineas para que comparen, pero antes de verlo tómense un ratito para pensar: ¿cómo son estas líneas cerca de la carga puntual? ¿Y cerca de la esfera a tierra?

Esperamos que este (brevísimo) repaso les haya servido, que todas las preguntas a lo largo del post les hayan parecido muy fáciles, que hayan disfrutado las referencias y que arranquen muy bien el finde 🙂 La semana que viene, en la práctica, arrancamos con la guía 3. Traten de estar lo más al día posible!

#SinLeyNoSePuede

P.d: si alguien respondió todas las preguntas puede reclamar un premio, válido solo por esta semana y en concordancia con la temática del post. Nota: no hace falta entregar nada, con una delcaración jurada y mucho honor científico es suficiente para reclamar el premio.

El título del post podría referirse a un miembro de Las Divinas o a una ecuación diferencial y su solución. En la materia nos preguntamos ¿Quién no quiso alguna vez formar parte de dicho grupo? Si le preguntáramos las condiciones a Antonella (Brenda Asnicar) para que nos deje entrar, nos pediría que nuestro rostro respete linealidad y simetría (esto está chequeado, le mandamos un mail :/ ). Si a ustedes también lxs dejaron afuera del club no se preocupen: hay otro selecto grupo que exige linealidad y simetría. Son los problemas cuyas soluciones heredan la simetría del problema original, grupo al que pertenecen todos los problemas que vamos a ver en la materia, pero no todos los que existen en la vida real. Aunque pertenecer a este grupo probablemente sea más difícil que pertenecer a Las Divinas (salvo que en lugar de ser una persona sean un problema), en este post vamos a comentar algunas cosas que pueden resultarles interesantes para pensar al respecto.

En la práctica del miércoles, y con mayor profundidad en la teórica de hoy, hablamos sobre el teorema de Sturm-Liouville. Este teorema nos garantiza que dada una ecuación diferencial ordinaria y condiciones de contorno, con una forma en particular tanto para la ecuación como para las condiciones, las soluciones de la ecuación para cada autovalor (es decir, las autofunciones) forman una base ortonormal. Esto nos es muy útil porque nos garantiza poder escribir cualquier función como una combinación lineal de soluciones de la ecuación diferencial.

En este momento podríamos preguntarnos qué condiciones debe cumplir un determinado problema para poder utilizar separación de variables y así llegar a problemas tipo Sturm-Liouville. Rápidamente podemos notar que los problemas de SL están definidos por ecuaciones lineales, así que si la ecuación para el potencial (o análogamente las ecuaciones de Maxwell) fueran no lineales ya podríamos olvidarnos de logar esto.

La linealidad de las ecuaciones de Maxwell nos facilita la vida en muchos sentidos. Por ejemplo, solo si las ecuaciones son lineales vale el principio de superposición. ¿Se imaginan resolviendo los problemas de las guías sin poder usar este principio? No obstante, la linealidad de las ecuaciones tiene una implicación que a veces pasa un poco desapercibida.

Imagínense un problema definido por una ecuación diferencial y condiciones de contorno que tienen una dada simetría. ¿La solución hereda siempre la simetría del problema original? En los problemas de electrostática esto ocurre siempre: los campos heredan la simetría de las fuentes. Esto ocurre porque, fijadas las fuentes, las ecuaciones de Maxwell nos especifican el rotor y la divergencia de los campos. En este contexto, el teorema de Helmholtz nos garantiza la unicidad de la solución a las ecuaciones de Maxwell, ya que con condiciones de contorno razonables (por ejemplo que los campos vayan a cero en infinito) el rotor y la divergencia definen unívocamente a un campo suave. Entonces, la forma de las ecuaciones de Maxwell nos garantiza que, con condiciones de contorno razonables la solución es única.

Pero… ¿Y si la solución no fuera única? ¿Todas las soluciones heredarían la simetría del problema? ¿Puede haber soluciones no simétricas a problemas simétricos? Pongamos un ejemplo sencillo para ver esto. Consideremos dos ecuaciones diferenciales con simetría de reflexión para la variable dependiente

Ambas ecuaciones son simétricas bajo las transformaciones

Y para ambas ecuaciones consideremos las mismas condiciones de contorno:

Que también respetan la simetría de reflexión. Por las simetrías que discutimos ya podemos decir algunas cosas para ambos problemas: supongamos que encontramos una solución, entonces todas estás también tienen que ser solución:

Veamos el caso lineal. Por lo que vimos en la práctica ya pueden convencerse rápido de que una posible solución es (ya impusimos la simetría de la condición de contorno):

Que pueden chequear (muy) rápidamente que es solución.

Entonces imponiendo la condición de contorno que nos falta, vemos que esta solución corresponde a

Además, como la ecuación es lineal, en derivada segunda y tenemos dos condiciones de contorno, esta solución es la Única.

Para el caso no lineal encontrar soluciones analíticas no es tan sencillo, pero podemos usar un código para calcular numéricamente algunas soluciones. Es importante que tengamos en cuenta que, en este caso, ya no tenemos un teorema que garantice existencia y unicidad, entonces, dada la ecuación y las condiciones de contorno, podemos hallar distintas soluciones. Numéricamente, se puede usar un algoritmo llamado “shooting”, que básicamente impone la condición de contorno en x=-L y luego busca soluciones que cumplan la otra condición de contorno en x=L. Entonces, este algoritmo nos permite encontrar distintas soluciones a la ecuación que cumplen las condiciones de contorno. El notebook se los dejo acá (por si quieren chequearlo). Lo interesante es ver algunas soluciones

En la figura vemos que los residuos son pequeños, por lo que podemos decir que las soluciones que están graficadas aproximan bien a soluciones de la ecuación diferencial. Miren por ejemplo la solución azul: no tiene la simetría del problema! Por otro lado, la roja pareciera que sí la tiene. Las dos soluciones son igual de buenas: cumplen la ecuación y las condiciones de contorno. Una cosa para tener en cuenta es que en el caso no lineal, no es cierto que la suma de dos soluciones también es solución (esto es, básicamente, el principio de superposición). Si aplicaran este método para el caso lineal encontrarían la única, es decir, \phi(x)=0.

Esto tiene una moraleja que, para mí, es tremenda… Las soluciones heredan la simetría de los problemas únicamente en problemas descriptos por ecuaciones lineales. Lo que sí vale en el caso general, es que el conjunto de las soluciones hereda la simetría del problema. Ya comentamos que dada una solución, vale que todas estas

también son solución. Entonces cada solución tiene su “contraparte”, para garantizar que el conjunto de todas ellas herede la simetría original del problema. Luego, en el caso lineal, este conjunto tiene un único elemento (ya que la solución es única) y por lo tanto esta solución hereda la simetría del problema original.

Toda esta discusión parece volada, pero puede tener consecuencias importantes en Relatividad General o mecánica de fluidos, donde las ecuaciones de campo son no lineales. Por ejemplo, en Relatividad General, pueden haber soluciones a problemas simétricos que no hereden la simetría del problema original. Esto motiva a buscar resultados como el teorema de Birkhoff, que garantiza que la única solución estacionaria y esféricamente simétrica “es” la de Schwarzschild.

Ustedes pueden agradecer que algunos problemas de la materia (pero la mayoría de los de F3) no pertenecen a las Divinas, pero sí pertenecen a este selecto grupo de problemas lineales y simétricos, donde la única solución hereda la simetría del problema y valen todos los argumentos que aprendieron en dicha materia. Luego, si hallan una solución, como saben que es la única, ya ganaron.

P.d: LGB agradece a Andrés Tovar, Tomás Suleiman, Manuel Mizrahi y Daniel Fondevila por discusiones útiles al respecto 🙂

#SinLeyNoSePuede