Se invita a toda la comunidad de Exactas a sumarse a la campaña de visibilización en redes sociales “Sin Ley no se puede”, el próximo lunes, 16 de marzo.
La campaña propone publicar una foto que haga referencia a un lugar o instancia de trabajo o estudio incluyendo un papel con la leyenda “Si no cumplen la Ley no se puede” y explicando en el posteo el impacto de la falta de presupuesto y salarios dignos sobre la actividad puntual que señala la foto. También se pide incluir en el texto la frase “Exigimos la aplicación de la Ley N° 27.795 de Financiamiento Universitario” y el hashtag #SinLeyNoSePuede
Los posteos comenzarán a publicarse a las 10.00 horas del lunes.
Por otra parte, aquellos alumnos y alumnas que quieran empezar a leer por cuenta propia, pueden hacer un buen repaso de Electrostática y Magnetostática, Capítulo 1 y Capitulo 5 del libro “Electrodinámica Clásica” de D.Jackson.
El título del post podría referirse a un miembro de Las Divinas o a una ecuación diferencial y su solución. En la materia nos preguntamos ¿Quién no quiso alguna vez formar parte de dicho grupo? Si le preguntáramos las condiciones a Antonella (Brenda Asnicar) para que nos deje entrar, nos pediría que nuestro rostro respete linealidad y simetría (esto está chequeado, le mandamos un mail :/ ). Si a ustedes también lxs dejaron afuera del club no se preocupen: hay otro selecto grupo que exige linealidad y simetría. Son los problemas cuyas soluciones heredan la simetría del problema original, grupo al que pertenecen todos los problemas que vamos a ver en la materia, pero no todos los que existen en la vida real. Aunque pertenecer a este grupo probablemente sea más difícil que pertenecer a Las Divinas (salvo que en lugar de ser una persona sean un problema), en este post vamos a comentar algunas cosas que pueden resultarles interesantes para pensar al respecto.
En la práctica del miércoles, y con mayor profundidad en la teórica de hoy, hablamos sobre el teorema de Sturm-Liouville. Este teorema nos garantiza que dada una ecuación diferencial ordinaria y condiciones de contorno, con una forma en particular tanto para la ecuación como para las condiciones, las soluciones de la ecuación para cada autovalor (es decir, las autofunciones) forman una base ortonormal. Esto nos es muy útil porque nos garantiza poder escribir cualquier función como una combinación lineal de soluciones de la ecuación diferencial.
En este momento podríamos preguntarnos qué condiciones debe cumplir un determinado problema para poder utilizar separación de variables y así llegar a problemas tipo Sturm-Liouville. Rápidamente podemos notar que los problemas de SL están definidos por ecuaciones lineales, así que si la ecuación para el potencial (o análogamente las ecuaciones de Maxwell) fueran no lineales ya podríamos olvidarnos de logar esto.
La linealidad de las ecuaciones de Maxwell nos facilita la vida en muchos sentidos. Por ejemplo, solo si las ecuaciones son lineales vale el principio de superposición. ¿Se imaginan resolviendo los problemas de las guías sin poder usar este principio? No obstante, la linealidad de las ecuaciones tiene una implicación que a veces pasa un poco desapercibida.
Imagínense un problema definido por una ecuación diferencial y condiciones de contorno que tienen una dada simetría. ¿La solución hereda siempre la simetría del problema original? En los problemas de electrostática esto ocurre siempre: los campos heredan la simetría de las fuentes. Esto ocurre porque, fijadas las fuentes, las ecuaciones de Maxwell nos especifican el rotor y la divergencia de los campos. En este contexto, el teorema de Helmholtz nos garantiza la unicidad de la solución a las ecuaciones de Maxwell, ya que con condiciones de contorno razonables (por ejemplo que los campos vayan a cero en infinito) el rotor y la divergencia definen unívocamente a un campo suave. Entonces, la forma de las ecuaciones de Maxwell nos garantiza que, con condiciones de contorno razonables la solución es única.
Pero… ¿Y si la solución no fuera única? ¿Todas las soluciones heredarían la simetría del problema? ¿Puede haber soluciones no simétricas a problemas simétricos? Pongamos un ejemplo sencillo para ver esto. Consideremos dos ecuaciones diferenciales con simetría de reflexión para la variable dependiente
Ambas ecuaciones son simétricas bajo las transformaciones
Y para ambas ecuaciones consideremos las mismas condiciones de contorno:
Que también respetan la simetría de reflexión. Por las simetrías que discutimos ya podemos decir algunas cosas para ambos problemas: supongamos que encontramos una solución, entonces todas estás también tienen que ser solución:
Veamos el caso lineal. Por lo que vimos en la práctica ya pueden convencerse rápido de que una posible solución es (ya impusimos la simetría de la condición de contorno):
Que pueden chequear (muy) rápidamente que es solución.
Entonces imponiendo la condición de contorno que nos falta, vemos que esta solución corresponde a
Además, como la ecuación es lineal, en derivada segunda y tenemos dos condiciones de contorno, esta solución es la Única.
Para el caso no lineal encontrar soluciones analíticas no es tan sencillo, pero podemos usar un código para calcular numéricamente algunas soluciones. Es importante que tengamos en cuenta que, en este caso, ya no tenemos un teorema que garantice existencia y unicidad, entonces, dada la ecuación y las condiciones de contorno, podemos hallar distintas soluciones. Numéricamente, se puede usar un algoritmo llamado “shooting”, que básicamente impone la condición de contorno en x=-L y luego busca soluciones que cumplan la otra condición de contorno en x=L. Entonces, este algoritmo nos permite encontrar distintas soluciones a la ecuación que cumplen las condiciones de contorno. El notebook se los dejo acá (por si quieren chequearlo). Lo interesante es ver algunas soluciones
En la figura vemos que los residuos son pequeños, por lo que podemos decir que las soluciones que están graficadas aproximan bien a soluciones de la ecuación diferencial. Miren por ejemplo la solución azul: no tiene la simetría del problema! Por otro lado, la roja pareciera que sí la tiene. Las dos soluciones son igual de buenas: cumplen la ecuación y las condiciones de contorno. Una cosa para tener en cuenta es que en el caso no lineal, no es cierto que la suma de dos soluciones también es solución (esto es, básicamente, el principio de superposición). Si aplicaran este método para el caso lineal encontrarían la única, es decir, \phi(x)=0.
Esto tiene una moraleja que, para mí, es tremenda… Las soluciones heredan la simetría de los problemas únicamente en problemas descriptos por ecuaciones lineales. Lo que sí vale en el caso general, es que el conjunto de las soluciones hereda la simetría del problema. Ya comentamos que dada una solución, vale que todas estas
también son solución. Entonces cada solución tiene su “contraparte”, para garantizar que el conjunto de todas ellas herede la simetría original del problema. Luego, en el caso lineal, este conjunto tiene un único elemento (ya que la solución es única) y por lo tanto esta solución hereda la simetría del problema original.
Toda esta discusión parece volada, pero puede tener consecuencias importantes en Relatividad General o mecánica de fluidos, donde las ecuaciones de campo son no lineales. Por ejemplo, en Relatividad General, pueden haber soluciones a problemas simétricos que no hereden la simetría del problema original. Esto motiva a buscar resultados como el teorema de Birkhoff, que garantiza que la única solución estacionaria y esféricamente simétrica “es” la de Schwarzschild.
Ustedes pueden agradecer que algunos problemas de la materia (pero la mayoría de los de F3) no pertenecen a las Divinas, pero sí pertenecen a este selecto grupo de problemas lineales y simétricos, donde la única solución hereda la simetría del problema y valen todos los argumentos que aprendieron en dicha materia. Luego, si hallan una solución, como saben que es la única, ya ganaron.
P.d: LGB agradece a Andrés Tovar, Tomás Suleiman, Manuel Mizrahi y Daniel Fondevila por discusiones útiles al respecto 🙂
“Hola hola hola hola hola hola hola hola amigos ¿cómo andan? Espero que bien, bienvenidos a un nuevo post en la página de la materia. ¿Alguna vez tuvieron hambre y los salvó su abuela con un plato de comida? A mi abuela le encanta cocinar milanesas con puré. Si bien a veces se pasa un poco con el aceite, es un plato efectivo. No falla. Así son las densidades de carga y corriente. A veces nos pasamos un poco de formales, pero al final del día, escribir nuestras fuentes en términos de densidades es tan efectivo como las milanesas con puré de mi abuela. Si me obligás a pensarlo bien…. yo diría que sí, che, las densidades tienen aura, como dicen los pibes.”
Algo así diría el Pollo Vignolo si le pidiéramos que hiciera una editorial sobre las densidades de carga y/o corriente. En lo que a la materia refiere, nos es indiferente si las densidades tienen o no tienen aura, pero lo que no podemos ignorar es que van a ser muy útiles para poder encarar muchos de los problemas a los que nos vamos a enfrentar.
Por ejemplo, en las próximas clases vamos a ver el método de la función de Green. Este método nos va a permitir, entre otras cosas, calcular el potencial (y por lo tanto el campo eléctrico) para distribuciones de carga que estén dentro de regiones con condiciones de contorno dadas. En estos problemas, no necesariamente las fuentes tienen la misma simetría que los recintos en donde se encuentran, y esto puede hacer que el cálculo sea costoso.
Spoiler: vamos a tener que integrar densidades de carga.
Por eso es muy importante que aprendan y se ejerciten para poder escribirlas bien! El objetivo de este post es motivarlxs a hacer los ejercicios de la guía 1, pero además dejamos algunos highlights sobre las deltas de Dirac y las thetas de Heaviside, que puede ser útil tener a mano.
Definición de la delta de Dirac:
De la propia definición se ve que:
Esta propiedad es muy útil para ir chequeando las densidades cuando las escriben: si lo que va adentro de la delta es una distancia, eso aporta 1/longitud. Si lo que va adentro de la delta es un ángulo, eso no aporta unidades. Usen esta propiedad para asegurarse siempre que
Además, si consideramos el vector r en coordenadas cartesianas
Tengan en cuenta que la delta depende de las coordenadas que estén usando. Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas
Si escribo la densidad de una carga puntual Q como
Al toque me doy cuenta que esta densidad ESTA MAL porque las unidades no cierran. Seguro en este caso voy a tener que dividir por alguna distancia. ¿Cuál es esa distancia? Miren los apuntes de la clase! Recuerden que las densidades son una herramienta que usamos para describir a las fuentes, y al final del día siempre deben chequear que
Sobre la theta de Heaviside, pueden usar como regla mnemotécnica que los escalones son para subirlos: arranca en 0 y sube a 1. Además, si al argumento de la función le resto un valor “a”, ahora el salto lo pega en x=a; mientras que si le sumo una cantidad “b”, ahora el salto lo pega en x=-b. Luego, si quiero que en lugar de subir el escalón, lo baje, le pongo un menos al argumento completo y listo. Es una regla un poco tonta, pero me imagino al Pollo Vignolo recitándola así que encaja bien en el post.
En general las thetas de Heaviside son como el aceite en las milanesas de la abuela, a veces no está bueno pasarse. Típicamente estas combinaciones nos restringen integrales sobre R a algún segmento de interés. Es bueno empezar usándolas y luego agarrar práctica para saber qué efecto van a tener en las integrales que vamos a ir haciendo.
El resto de las propiedades necesarias las tienen en los apuntes, y también las vamos a ir viendo a lo largo de las clases. Esperamos que este post sirva como motivación/recordatorio para hacer los ejercicios, ya que la clase siguiente probablemente usemos densidades de carga para los problemas que vamos a encarar!
Derecho de autor: el inicio de este post fue inspirado en este clip.
Las clases no comenzarán el próximo 16 de marzo debido al reclamo de la comunidad docente universitaria ante la no aplicación de la Ley 27.795 de Financiamiento de la Educación Universitaria, votada por el Congreso. El incumplimiento de esta norma deja a la situación actual por fuera del marco legal vigente.
El curso se dicta los días lunes y miércoles de marzo 9-14 hs, en el aula 9 del Pab. 1.
En esta página encontrarán todo el material relacionado con la materia. Incluimos el programa de la materia, horarios, fechas de parciales, las guías y links que esperamos les sean de utilidad. Sugerimos que se suscriban para mantenerse informados e informadas!
