La semana que viene es la RAFA, a la que quizá asistan algunos de ustedes. Para que no pierdan el ritmo de la materia les cuento lo que vamos a ver en la teórica: sistemas de partículas clásicas, en particular el gas ideal. Esto nos va a llevar a la paradoja de Gibbs y la necesidad de que las partículas de un gas sean indistinguibles. En este contexto también vamos a ver el teorema de equipartición y sus aplicaciones a sólidos y gases poliatómicos. Por último, veremos cómo las predicciones del teorema de equipartición no se cumplen a temperaturas bajas, indicando que ahí se vuelven relevantes los efectos cuánticos. Lecturas para aprender estos temas: Tong secciones 2.1-2.4, Callen 15-5, 16-10 y 16-11, Huang capítulo 6.
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La clase práctica de hoy, pero en forma de manchas dibujadas por el dios en la piel viva de los jaguares
[Aquí] pueden bajar un apunte escrito al estilo que era de uso en el segundo cuatrimestre del año pasado. El apunte es acerca del problema que vimos hoy en la práctica. No hay muchos más problemas en la guía que puedan hacer con lo visto hasta ahora, a menos que tomen la iniciativa y apliquen lo aprendido en las teóricas. Pueden hacer el problema 2 (un sistema de osciladores cuánticos) y el problema 7 (el problema de los grafos). En la guía anterior ya introdujimos los grafos. [Aquí] y [aquí] tienen otros problemas con grafos que también pueden hacer. El problema 2 de [este parcial] está relacionado con un problema de la Guía 2; también lo pueden hacer.
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La clase práctica de hoy, pero en forma de círculos misteriosos en campos de maíz, probablemente trazados por seres de otro planeta
[Aquí] pueden bajar el apunte que corresponde a la clase práctica de hoy. El problema de los desarreglos aparecía comúnmente en los libros en situaciones en las que un grupo de caballeros dejaba sus sombreros en el guardarropa de un teatro, para que luego los sombreros les fueran devueltos al azar por un empleado negligente. La imaginación de los matemáticos es inagotable, de manera que en estos problemas también era personaje frecuente el paraguas.
Problemas de la guía que se pueden resolver con el principio de inclusión-exclusión: el 2d y 2f, el 6c, el 12 y el 14.
La clase que viene empezamos la Guía 3, así que vayan pensando en redondear la Guía 2. El menos urgente de los problemas de la Guía 2 es el de los pistoleros daneses.
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La clase práctica de hoy, pero en forma de columnas de diario de Adrián Paenza
Adrián Paenza (Foto: archivo). -
Lecturas para las últimas teóricas
Si quieren profundizar un poco en lo que vimos la clase pasada de entropía estadística, pueden consultar el libro de Balian (ver la bibliografía complementaria), sección 3.1. Y si les interesa lo último que vimos, la teoría de la información, qué mejor que leer el paper original de Shannon (el de la foto). Es muy ameno y fácil de leer, para ser un paper. Por otra parte, si se quedaron con ganas de más respecto a lo que vimos la clase anterior, es decir, función generatriz, ley de grandes números y teorema central del límite, un buen lugar donde leer sobre eso es la sección 1 del libro Temas avanzados de termodinámica, de Esteban Calzetta. Como su título indica, el libro es sobre temas más avanzados que los que vemos en esta materia, pero la sección 1 (probabilidad) es muy sencilla y fácil de leer.
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La clase práctica de hoy, pero en forma de circulares de la AFA
[Aquí] pueden bajar los apuntes de la clase práctica de hoy. Hay algunos problemas más que los que llegamos a ver, y está también el principio de inclusión-exclusión, que se usa en varios problemas. Lo vamos a ver el lunes que viene, pero es fácil de entender, así que no pierden nada con verlo ahora.
Un consejo amigo: abandonen en el acto la Guía 1. Empiecen la Guía 2. Es una guía intensa, pero divertida. Con lo que vimos hoy en clase, pueden hacer hasta el problema de los grafos (en un caso hay que aplicar el principio de inclusión-exclusión).
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Ley de grandes números y teorema central del límite
En la clase de hoy hemos discutido la ley de grandes números y el teorema central del límite, en una versión levemente restringida. Al final de la clase les quería mostrar algunos gráficos, pero no lo pude hacer por problemas técnicos. Ahí van.
Consideremos un experimento con dos resultados posibles, éxito y fracaso, y supongamos que la probabilidad de éxito es p. Si repito N veces el experimento, la frecuencia (fracción de veces) con que aparece el resultado éxito es una variable aleatoria. En el límite cuando N tiende a infinito, esta variable se vuelve determinista y su valor es p con probabilidad 1. Esto es la ley de grandes números. Acá tienen unos gráficos que permiten visualizar este resultado con p=0.8. A medida que aumenta N, la distribución para la frecuencia se vuelve más y más estrecha.
Si N es muy grande pero no lo mando a infinito, entonces la frecuencia es aproximadamente una variable gaussiana de valor medio p y varianza p(1-p)/N. Esto es el teorema central del límite. Para verlo, comparamos los gráficos anteriores con la gaussiana del teorema, y hacemos zoom cerca del pico para aumentar la resolución.
El colab con el que hice estos gráficos, acá.
