En la práctica del 8/10 trabajamos sobre modelos de poblaciones. Vimos el modelo clásico de Lotka-Volterra, motivado por el famoso problema biológico observado por D’Ancona en el período posterior a la Primera Guerra Mundial sobre las variaciones en la proporción de peces predadores y presas en el Adriático (pueden buscar más sobre la historia del modelo de Lotka-Volterra en varios lugares, como en este posteo de National Geographic).
Aprovechamos este sistema para repasar y reforzar las herramientas analíticas vistas en la materia para estudiar sistemas dinámicos 2D. En primer lugar, buscamos las nulclinas como las curvas donde se anulan las componentes del campo vector (es decir, donde alguna de las variables tiene derivada nula), para luego hallar los puntos fijos como las intersecciones entre ellas. A partir de las derivadas parciales construimos la matriz Jacobiana y estudiamos el problema linealizado evaluado en los puntos fijos, derivando los autovalores para determinar la estabilidad. Para este problema en particular, advertimos la presencia de puntos no hiperbólicos en los cuales la linealización no resulta informativa. Finalmente, comprobamos que el sistema es conservativo al encontrar una función V(x,y) que se mantiene constante a lo largo del tiempo, lo que da lugar a una familia de órbitas cerradas dependientes de las condiciones iniciales.
El modelo original presenta ciertas limitaciones cuando se busca estudiar propiedades fenomenológicas específicas de las poblaciones biológicas. En particular, la falta de ciclos límite aislados y su inestabilidad estructural frente a pequeñas perturbaciones. Las modificaciones que dan pie a los sistemas de los ejercicios 7 y 8 se postulan para subsanar esto e incorporar mayor realismo, donde la capacidad de carga finita de las presas, la competencia interespecífica y la respuesta funcional saturante de Holling II permiten modelar fenómenos reales como la exclusión competitiva, la biestabilidad y la presencia de oscilaciones autosostenidas mediante bifurcaciones de Hopf.
Van a poder encontrar las herramientas interactivas en el siguiente link y también en el siguiente archivo para correr de manera local. En el visualizador van a poder simular el modelo de Lotka-Volterra clásico junto a sus perturbaciones y el efecto Volterra de relevancia histórica. También van a poder analizar el modelo de competencia del ejercicio 8 y explorar los cuatro retratos de fases posibles. Por último, van a poder abordar numéricamente varias características del sistema del ejercicio 7: visualizar una región atrapante de Poincaré-Bendixson para analizar la posibilidad de que haya al menos un ciclo límite; construir numéricamente el diagrama de bifurcación para constatar la presencia de la bifurcación de Hopf; y evaluar si se trata del caso supercrítico o del subcrítico.
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