Hola!
Aquí encontrarán la grabación de la clase teórica del 19/10, sobre la forma normal de Takens-Bogdanov y su relevancia para modelar sistemas reales. La grabación está subida en 2 partes.
Parte 1:
Parte 2:
Saludos!
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Práctica mapas discretos 1D
Les dejamos la presentación de la clase práctica dada el lunes 19/10. En esta clase vimos mapas discretos unidimensionales lineales y no lineales. Abordamos la resolución de los ejercicios 2.i., 2.ii., y 3.a., de la guía 5. Además, les compartimos una herramienta interactiva de los mapas que estudiamos durante la clase para que puedan seguir explorandolos. La pueden encontrar en el siguiente link o en este archivo para correr de manera local.
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Consultas DNL – miércoles 21/10 14hs bar pabellón 1
Buenas!
Mañana, miércoles 21/10 nos encontramos a las 14hs en el bar del pabellón 1 para responder consultas de las guías.
Saludos!
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Video clase 16/10
Hola!
Aquí van a encontrar el link al video de la grabación de la clase del 16/10, sobre Formas Normales:
Saludos!
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Lotka-Volterra
En la práctica del 8/10 trabajamos sobre modelos de poblaciones. Vimos el modelo clásico de Lotka-Volterra, motivado por el famoso problema biológico observado por D’Ancona en el período posterior a la Primera Guerra Mundial sobre las variaciones en la proporción de peces predadores y presas en el Adriático (pueden buscar más sobre la historia del modelo de Lotka-Volterra en varios lugares, como en este posteo de National Geographic).
Aprovechamos este sistema para repasar y reforzar las herramientas analíticas vistas en la materia para estudiar sistemas dinámicos 2D. En primer lugar, buscamos las nulclinas como las curvas donde se anulan las componentes del campo vector (es decir, donde alguna de las variables tiene derivada nula), para luego hallar los puntos fijos como las intersecciones entre ellas. A partir de las derivadas parciales construimos la matriz Jacobiana y estudiamos el problema linealizado evaluado en los puntos fijos, derivando los autovalores para determinar la estabilidad. Para este problema en particular, advertimos la presencia de puntos no hiperbólicos en los cuales la linealización no resulta informativa. Finalmente, comprobamos que el sistema es conservativo al encontrar una función V(x,y) que se mantiene constante a lo largo del tiempo, lo que da lugar a una familia de órbitas cerradas dependientes de las condiciones iniciales.
El modelo original presenta ciertas limitaciones cuando se busca estudiar propiedades fenomenológicas específicas de las poblaciones biológicas. En particular, la falta de ciclos límite aislados y su inestabilidad estructural frente a pequeñas perturbaciones. Las modificaciones que dan pie a los sistemas de los ejercicios 7 y 8 se postulan para subsanar esto e incorporar mayor realismo, donde la capacidad de carga finita de las presas, la competencia interespecífica y la respuesta funcional saturante de Holling II permiten modelar fenómenos reales como la exclusión competitiva, la biestabilidad y la presencia de oscilaciones autosostenidas mediante bifurcaciones de Hopf.
Van a poder encontrar las herramientas interactivas en el siguiente link y también en el siguiente archivo para correr de manera local. En el visualizador van a poder simular el modelo de Lotka-Volterra clásico junto a sus perturbaciones y el efecto Volterra de relevancia histórica. También van a poder analizar el modelo de competencia del ejercicio 8 y explorar los cuatro retratos de fases posibles. Por último, van a poder abordar numéricamente varias características del sistema del ejercicio 7: visualizar una región atrapante de Poincaré-Bendixson para analizar la posibilidad de que haya al menos un ciclo límite; construir numéricamente el diagrama de bifurcación para constatar la presencia de la bifurcación de Hopf; y evaluar si se trata del caso supercrítico o del subcrítico.
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Paper de Deng
Hola gente,
Entre los papers históricos en la página de la materia, van a encontrar este artículo de Deng que les anticipé la clase pasada.
Saludos!
Gabo
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Ciclos límite + Hopf
En la práctica del 1/10 abordamos los ejercicios 4 y 6 de la guía 4, donde vimos las herramientas importantes para evaluar la presencia de ciclos límite y caracterizar una bifurcación de Hopf. En esta clase, aplicamos las herramientas analíticas, dadas en la teórica, para determinar la existencia de oscilaciones autosostenidas y ciclos límite aislados.
En el ejercicio 4, pasamos el sistema a coordenadas polares para analizar por separado la dinámica radial y la angular. Comprobamos que, al ser la velocidad angular estrictamente negativa, se descarta la presencia de puntos fijos en el plano salvo en el origen. Esto nos permitió construir una región de tipo anillo para la cual el flujo siempre entra, garantizando la existencia de al menos un ciclo límite por el Teorema de Poincaré-Bendixson. Además, al integrar la velocidad angular en una vuelta completa, vimos que el período de oscilación depende únicamente de los parámetros del sistema y no de la condición inicial ni del radio, por lo que todas las órbitas cerradas concéntricas dentro de la región comparten exactamente el mismo período.
En el ejercicio 6, estudiamos el nacimiento de oscilaciones mediante la bifurcación de Hopf cuando un par de autovalores complejos conjugados del jacobiano cruza el eje imaginario al variar un parámetro. Como en el valor crítico del parámetro el punto fijo en el origen no es hiperbólico al tener autovalores de parte real nula, el teorema de Hartman-Grobman nos indica que la linealización no es informativa sobre la estabilidad local. Por lo tanto, debemos estudiar el sistema no lineal completo para determinar si la bifurcación es supercrítica (donde para el parámetro positivo nace un ciclo límite estable) o subcrítica (donde existe un ciclo límite inestable rodeando al origen estable).
Van a poder encontrar las herramientas interactivas en el siguiente link o también en el siguiente archivo para correr de manera local. En el visualizador van a poder seleccionar los distintos sistemas de la guía (o ingresar uno personalizado); integrar trayectorias en el espacio de fases hacia adelante o hacia atrás en el tiempo; observar la trayectoria de los autovalores en el plano complejo; y construir numéricamente el diagrama de bifurcación en tiempo real para determinar si la Hopf es supercrítica o subcrítica en los distintos sistemas estudiados en el ejercicio 6.
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Variedades invariantes
En la práctica del 24/9 hicimos el ejercicio 8 de la guía 3, abordando el tema de variedades invariantes y su aproximación analítica mediante series de potencias y polinomios de grado creciente.
Además, complementamos con material para la búsqueda de las variedades invariantes globales, usando las definiciones vistas en la teórica y las soluciones al problema de valor inicial obtenidas de integrar numéricamente (hacia adelante o hacia atrás según la estabilidad de la variedad local del problema linealizado) desde una condición inicial muy cercana al punto fijo, sobre la dirección tangente a la variedad del problema lineal.
Las herramientas interactivas se pueden ver en el siguiente link o descargar de este archivo comprimido (por un tema de compatibilidad de wordpress). En el visualizador van a poder seleccionar distintos sistemas 2D (o ingresar uno personalizado), analizar los puntos fijos y su linealización; integrar trayectorias en tiempo real; y observar cómo, con el polinomio de la variedad estable del ejercicio 8, la aproximación es muy buena en un entorno cercano, pero termina separándose en una ventana más amplia debido al radio de convergencia finito.
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Sobre el Millennium Problem
Hola gente!
Para los que estuvieron siguiendo en X el debate acerca del anuncio de Open AI sobre el Millennium Problem, y quieran profundizar un poco más, este breve artículo de divulgación describe resumindamente de qué va la pregunta.
Interesante; es un pre-print de hace unas semanas.
Saludos!
Gabo
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Complemento para mapas
Hola gente,
Les comparto este script para que visualicen lo que conversamos ayer. La primera celda, asume un T menor, para que se vea la naturaleza 2D del mapa, cosa que usaré el jueves, y la segunda celda toma un T más grande para mostrar sólo el límite del mapa 1D para tiempos grandes entre kicks.
Para que jueguen antes de la clase del jueves,
Saludos!
Gabo
