Hola! Les dejo este post para que vayan pensando en el resultado que obtuvimos al final de la última clase. Es un concepto que vamos a utilizar en la próxima clase y a lo largo del cuatrimestre.
Recordemos lo que vimos la última clase. La Función de Green dependiente del tiempo es la respuesta a una perturbación localizada en espacio tiempo, o sea, es función que resuelve:
$\bigg(\nabla^2 -\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \bigg) G(\vec{r},t; \vec{r}’,t’)= -4 \pi \delta(\vec{r}-\vec{r}’)\delta(t-t’)$
En el caso del espacio no acotado, obtuvimos la solución:
$G_{\pm}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’) = \frac{\delta(t’-t \mp |\vec{r}-\vec{r}’|/c)}{|\vec{r}-\vec{r}’|}$
Esta función es distinta de cero es dos situaciones:
(i) $t’= t+|\vec{r}-\vec{r}’|/c$ $\rightarrow t= t’-|\vec{r}-\vec{r}’|/c$ , esto implica que $t<t’$.
(ii) $t’= t-|\vec{r}-\vec{r}’|/c$ $\rightarrow t= t’+|\vec{r}-\vec{r}’|/c$, esto implica $t>t’$.
o sea, cuando $t-t’= \pm |\vec{r}-\vec{r}’|/c$. Es decir, la función de Green describe cómo una perturbación puntual en el espacio-tiempo se propaga respetando la estructura causal del espacio-tiempo. Es distinta de cero únicamente cuando el evento fuente y el evento observador están conectados por una señal que viaja a velocidad .
Recordemos que $(\vec{r},t)$ son coordenadas espacio temporales del observador mientras que $(\vec{r}’,t’)$ son coordenadas espacio temporales de la fuente. En (i) y (ii) vemos que hay dos posibilidades.
$G_{+}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’)$ (retardada) es la solución en $(\vec{r},t)$ si existe una fuente en $(\vec{r}’,t’)$. Es no nula cuando $t= t’+|\vec{r}-\vec{r}’|/c$, describe la propagación de un evento ocurrido en $(\vec{r}’,t’)$ hacia adelante en $t$ con velocidad $c$
$G_{-}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’)$ (avanzada) es la solución en $(\vec{r},t)$ si existe una fuente en $(\vec{r}’,t’)$. Es no nula cuando $t= t’-|\vec{r}-\vec{r}’|/c$, describe la propagación de un evento ocurrido en $(\vec{r}’,t’)$ hacia atrás en $t$ con velocidad $c$.
Imaginemos una carga $q$ en el origen que se “prende” a $t’=0$, $\rho(\vec{r}’,t’)=q \delta(\vec{r}’-0) \delta(t’-0)$. El potencial retardado para $t>0$ será
$\phi_{\rm retardado}= \int dV’~\int ~dt’ ~\rho(\vec{r}’,t’)~G_{+}(\vec{r},t; \vec{r}’,t’) = q/r \delta(t – r/c)$
Es decir que una perturbación en el origen genera un pulso esférico a velocidad $c$.
El gráfico muestra cómo una perturbación puntual en el origen se propaga en el espacio. En cada instante $t$, la señal sólo existe sobre una esfera de radio $r=c*t$.
En este gráfico se muestran dos observadores ubicados a distancias y . Cada uno recibe la señal en un instante distinto.
La ecuación de onda es simétrica en el tiempo, por lo que admite dos soluciones posibles. Estas corresponden a las dos condiciones $t-t’= \pm |\vec{r}-\vec{r}’|/c$
La solución retardada corresponde al caso $t>t′$, donde el efecto ocurre después de la causa: una perturbación generada en el evento fuente $(\vec{r}′,t′)$ se propaga hacia el futuro y es detectada en $(\vec{r},t)$ en un tiempo posterior.
En cambio, la solución avanzada corresponde al caso $t<t′$, donde el efecto ocurre antes de la causa: la señal parecería propagarse hacia el pasado.
Si fijamos el evento fuente en $(\vec{r}′,t′)$, entonces el futuro está dado por $t>t′$, donde vive la solución retardada; el pasado está dado por $t<t′$, donde vive la solución avanzada; y el presente corresponde a $t=t′$, donde ocurre la perturbación.
Estas dos soluciones se interpretan geométricamente en términos de los conos de luz: la solución retardada está asociada al cono de luz futuro, mientras que la solución avanzada está asociada al cono de luz pasado.
Ojalá esto les sirva para terminar de cerrar la idea. Nos encontramos en el aula el lunes y seguimos con más ejemplos.
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