Las densidades tienen aura

“Hola hola hola hola hola hola hola hola amigos ¿cómo andan? Espero que bien, bienvenidos a un nuevo post en la página de la materia. ¿Alguna vez tuvieron hambre y los salvó su abuela con un plato de comida? A mi abuela le encanta cocinar milanesas con puré. Si bien a veces se pasa un poco con el aceite, es un plato efectivo. No falla. Así son las densidades de carga y corriente. A veces nos pasamos un poco de formales, pero al final del día, escribir nuestras fuentes en términos de densidades es tan efectivo como las milanesas con puré de mi abuela. Si me obligás a pensarlo bien…. yo diría que sí, che, las densidades tienen aura, como dicen los pibes.”

Algo así diría el Pollo Vignolo si le pidiéramos que hiciera una editorial sobre las densidades de carga y/o corriente. En lo que a la materia refiere, nos es indiferente si las densidades tienen o no tienen aura, pero lo que no podemos ignorar es que van a ser muy útiles para poder encarar muchos de los problemas a los que nos vamos a enfrentar.

Por ejemplo, en las próximas clases vamos a ver el método de la función de Green. Este método nos va a permitir, entre otras cosas, calcular el potencial (y por lo tanto el campo eléctrico) para distribuciones de carga que estén dentro de regiones con condiciones de contorno dadas. En estos problemas, no necesariamente las fuentes tienen la misma simetría que los recintos en donde se encuentran, y esto puede hacer que el cálculo sea costoso.

Spoiler: vamos a tener que integrar densidades de carga.

Por eso es muy importante que aprendan y se ejerciten para poder escribirlas bien! El objetivo de este post es motivarlxs a hacer los ejercicios de la guía 1, pero además dejamos algunos highlights sobre las deltas de Dirac y las thetas de Heaviside, que puede ser útil tener a mano.

• Definición de la delta de Dirac:

• De la propia definición se ve que:

Esta propiedad es muy útil para ir chequeando las densidades cuando las escriben: si lo que va adentro de la delta es una distancia, eso aporta 1/longitud. Si lo que va adentro de la delta es un ángulo, eso no aporta unidades. Usen esta propiedad para asegurarse siempre que

• Además, si consideramos el vector r en coordenadas cartesianas

• Tengan en cuenta que la delta depende de las coordenadas que estén usando. Por ejemplo, en coordenadas cilíndricas

Si escribo la densidad de una carga puntual Q como

Al toque me doy cuenta que esta densidad ESTA MAL porque las unidades no cierran. Seguro en este caso voy a tener que dividir por alguna distancia. ¿Cuál es esa distancia? Miren los apuntes de la clase! Recuerden que las densidades son una herramienta que usamos para describir a las fuentes, y al final del día siempre deben chequear que

• Sobre la theta de Heaviside, pueden usar como regla mnemotécnica que los escalones son para subirlos: arranca en 0 y sube a 1. Además, si al argumento de la función le resto un valor “a”, ahora el salto lo pega en x=a; mientras que si le sumo una cantidad “b”, ahora el salto lo pega en x=-b. Luego, si quiero que en lugar de subir el escalón, lo baje, le pongo un menos al argumento completo y listo. Es una regla un poco tonta, pero me imagino al Pollo Vignolo recitándola así que encaja bien en el post.

En general las thetas de Heaviside son como el aceite en las milanesas de la abuela, a veces no está bueno pasarse. Típicamente estas combinaciones nos restringen integrales sobre R a algún segmento de interés. Es bueno empezar usándolas y luego agarrar práctica para saber qué efecto van a tener en las integrales que vamos a ir haciendo.

El resto de las propiedades necesarias las tienen en los apuntes, y también las vamos a ir viendo a lo largo de las clases. Esperamos que este post sirva como motivación/recordatorio para hacer los ejercicios, ya que la clase siguiente probablemente usemos densidades de carga para los problemas que vamos a encarar!

Derecho de autor: el inicio de este post fue inspirado en este clip.

#SinLeyNoSePuede