El título del post podría referirse a un miembro de Las Divinas o a una ecuación diferencial y su solución. En la materia nos preguntamos ¿Quién no quiso alguna vez formar parte de dicho grupo? Si le preguntáramos las condiciones a Antonella (Brenda Asnicar) para que nos deje entrar, nos pediría que nuestro rostro respete linealidad y simetría (esto está chequeado, le mandamos un mail :/ ). Si a ustedes también lxs dejaron afuera del club no se preocupen: hay otro selecto grupo que exige linealidad y simetría. Son los problemas cuyas soluciones heredan la simetría del problema original, grupo al que pertenecen todos los problemas que vamos a ver en la materia, pero no todos los que existen en la vida real. Aunque pertenecer a este grupo probablemente sea más difícil que pertenecer a Las Divinas (salvo que en lugar de ser una persona sean un problema), en este post vamos a comentar algunas cosas que pueden resultarles interesantes para pensar al respecto.
En la práctica del miércoles, y con mayor profundidad en la teórica de hoy, hablamos sobre el teorema de Sturm-Liouville. Este teorema nos garantiza que dada una ecuación diferencial ordinaria y condiciones de contorno, con una forma en particular tanto para la ecuación como para las condiciones, las soluciones de la ecuación para cada autovalor (es decir, las autofunciones) forman una base ortonormal. Esto nos es muy útil porque nos garantiza poder escribir cualquier función como una combinación lineal de soluciones de la ecuación diferencial.
En este momento podríamos preguntarnos qué condiciones debe cumplir un determinado problema para poder utilizar separación de variables y así llegar a problemas tipo Sturm-Liouville. Rápidamente podemos notar que los problemas de SL están definidos por ecuaciones lineales, así que si la ecuación para el potencial (o análogamente las ecuaciones de Maxwell) fueran no lineales ya podríamos olvidarnos de logar esto.
La linealidad de las ecuaciones de Maxwell nos facilita la vida en muchos sentidos. Por ejemplo, solo si las ecuaciones son lineales vale el principio de superposición. ¿Se imaginan resolviendo los problemas de las guías sin poder usar este principio? No obstante, la linealidad de las ecuaciones tiene una implicación que a veces pasa un poco desapercibida.
Imagínense un problema definido por una ecuación diferencial y condiciones de contorno que tienen una dada simetría. ¿La solución hereda siempre la simetría del problema original? En los problemas de electrostática esto ocurre siempre: los campos heredan la simetría de las fuentes. Esto ocurre porque, fijadas las fuentes, las ecuaciones de Maxwell nos especifican el rotor y la divergencia de los campos. En este contexto, el teorema de Helmholtz nos garantiza la unicidad de la solución a las ecuaciones de Maxwell, ya que con condiciones de contorno razonables (por ejemplo que los campos vayan a cero en infinito) el rotor y la divergencia definen unívocamente a un campo suave. Entonces, la forma de las ecuaciones de Maxwell nos garantiza que, con condiciones de contorno razonables la solución es única.
Pero… ¿Y si la solución no fuera única? ¿Todas las soluciones heredarían la simetría del problema? ¿Puede haber soluciones no simétricas a problemas simétricos? Pongamos un ejemplo sencillo para ver esto. Consideremos dos ecuaciones diferenciales con simetría de reflexión para la variable dependiente
Ambas ecuaciones son simétricas bajo las transformaciones
Y para ambas ecuaciones consideremos las mismas condiciones de contorno:
Que también respetan la simetría de reflexión. Por las simetrías que discutimos ya podemos decir algunas cosas para ambos problemas: supongamos que encontramos una solución, entonces todas estás también tienen que ser solución:
Veamos el caso lineal. Por lo que vimos en la práctica ya pueden convencerse rápido de que una posible solución es (ya impusimos la simetría de la condición de contorno):
Que pueden chequear (muy) rápidamente que es solución.
Entonces imponiendo la condición de contorno que nos falta, vemos que esta solución corresponde a
Además, como la ecuación es lineal, en derivada segunda y tenemos dos condiciones de contorno, esta solución es la Única.
Para el caso no lineal encontrar soluciones analíticas no es tan sencillo, pero podemos usar un código para calcular numéricamente algunas soluciones. Es importante que tengamos en cuenta que, en este caso, ya no tenemos un teorema que garantice existencia y unicidad, entonces, dada la ecuación y las condiciones de contorno, podemos hallar distintas soluciones. Numéricamente, se puede usar un algoritmo llamado “shooting”, que básicamente impone la condición de contorno en x=-L y luego busca soluciones que cumplan la otra condición de contorno en x=L. Entonces, este algoritmo nos permite encontrar distintas soluciones a la ecuación que cumplen las condiciones de contorno. El notebook se los dejo acá (por si quieren chequearlo). Lo interesante es ver algunas soluciones
En la figura vemos que los residuos son pequeños, por lo que podemos decir que las soluciones que están graficadas aproximan bien a soluciones de la ecuación diferencial. Miren por ejemplo la solución azul: no tiene la simetría del problema! Por otro lado, la roja pareciera que sí la tiene. Las dos soluciones son igual de buenas: cumplen la ecuación y las condiciones de contorno. Una cosa para tener en cuenta es que en el caso no lineal, no es cierto que la suma de dos soluciones también es solución (esto es, básicamente, el principio de superposición). Si aplicaran este método para el caso lineal encontrarían la única, es decir, \phi(x)=0.
Esto tiene una moraleja que, para mí, es tremenda… Las soluciones heredan la simetría de los problemas únicamente en problemas descriptos por ecuaciones lineales. Lo que sí vale en el caso general, es que el conjunto de las soluciones hereda la simetría del problema. Ya comentamos que dada una solución, vale que todas estas
también son solución. Entonces cada solución tiene su “contraparte”, para garantizar que el conjunto de todas ellas herede la simetría original del problema. Luego, en el caso lineal, este conjunto tiene un único elemento (ya que la solución es única) y por lo tanto esta solución hereda la simetría del problema original.
Toda esta discusión parece volada, pero puede tener consecuencias importantes en Relatividad General o mecánica de fluidos, donde las ecuaciones de campo son no lineales. Por ejemplo, en Relatividad General, pueden haber soluciones a problemas simétricos que no hereden la simetría del problema original. Esto motiva a buscar resultados como el teorema de Birkhoff, que garantiza que la única solución estacionaria y esféricamente simétrica “es” la de Schwarzschild.
Ustedes pueden agradecer que algunos problemas de la materia (pero la mayoría de los de F3) no pertenecen a las Divinas, pero sí pertenecen a este selecto grupo de problemas lineales y simétricos, donde la única solución hereda la simetría del problema y valen todos los argumentos que aprendieron en dicha materia. Luego, si hallan una solución, como saben que es la única, ya ganaron.
P.d: LGB agradece a Andrés Tovar, Tomás Suleiman, Manuel Mizrahi y Daniel Fondevila por discusiones útiles al respecto 🙂
#SinLeyNoSePuede
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