G1 — Dinámica No Lineal
Sistemas dinámicos e introducción a la dinámica no lineal
El origen de la dinámica. Concepto de trayectoria en el espacio de fases. Sistemas dinámicos continuos y determinismo. Ecuaciones diferenciales ordinarias como modelos de sistemas físicos.
Flujos en una dimensión y bifurcaciones en sistemas 1D
Puntos fijos y su estabilidad. Análisis gráfico de flujos 1D. Bifurcaciones locales en sistemas unidimensionales: bifurcación nodo-silla, bifurcación transcrítica y bifurcación de tridente (pitchfork). Diagramas de bifurcación.
Sistemas lineales y plano de fases 2D
Sistemas de ecuaciones diferenciales en el plano. Clasificación de puntos fijos de sistemas lineales. Plano traza–determinante (τ–Δ). Retrato de fases: nodos, espirales, centros y puntos de silla.
Ciclos límite y oscilaciones
Trayectorias cerradas y ciclos límite. Oscilador de relajación. Criterio de Bendixson. Teorema de Poincaré-Bendixson.
Bifurcación de Hopf y bifurcaciones globales
Bifurcación de Hopf supercrítica y subcrítica. Bifurcaciones globales: bifurcación de homoclínica y bifurcación de ciclo límite silla-nodo. Consecuencias sobre la dinámica oscilatoria.
Formas normales
Concepto de forma normal de una bifurcación. Reducción de sistemas a formas normales. Aplicaciones al análisis local de la dinámica.
Sistemas 3D y caos determinista
Extensión a sistemas de dimension mayor. El sistema de Lorenz como paradigma del caos determinista. Sensibilidad a las condiciones iniciales. Exponentes de Lyapunov. Oscilador no lineal forzado. Rutas al caos.
Mapas discretos, mapa logístico y universalidad
Mapas 1D como modelos de sistemas dinámicos. El mapa logístico y su diagrama de bifurcación. Cascada de duplicación de período. Universalidad de Feigenbaum.
Alta dimensionalidad y sincronización
Sistemas de muchos osciladores acoplados. Modelo de Kuramoto. Transición a la sincronización colectiva. Parámetro de orden. Turbulencia.
G2 — Series y Transformadas de Fourier
Series de Fourier
Motivación y definición de la serie de Fourier de una función periódica. Coeficientes de Fourier. Condiciones de Dirichlet. Convergencia puntual, convergencia en media cuadrática y fenómeno de Gibbs. Series en senos y cosenos. Parseval.
Aplicaciones de las series de Fourier
Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales con condiciones de contorno periódicas mediante series de Fourier. Ejemplos de interés físico.
Transformada de Fourier
Límite continuo de la serie de Fourier. Definición de la transformada de Fourier y la transformada inversa. Propiedades: linealidad, desplazamiento, escaleo, derivación, integración. Transformada de funciones elementales. Delta de Dirac y sus propiedades.
Propiedades y aplicaciones al estudio de EDPs
Aplicación de la transformada de Fourier a la resolución de ecuaciones en derivadas parciales. Relación de dispersión. Transformada de Laplace y su relación con la de Fourier.
Convolución
Definición de la convolución de dos funciones. Teorema de la convolución. Aplicaciones al filtrado y al producto de transformadas. Correlación cruzada y autocorrelación.
Análisis de señales: FFT y filtros
Transformada discreta de Fourier (DFT). Algoritmo de la transformada rápida de Fourier (FFT). Espectro de potencia de una señal discreta. Aliasing y teorema de muestreo de Nyquist-Shannon. Diseño de filtros en el espacio de frecuencias.
Análisis de imágenes
Extensión de la transformada de Fourier a dos dimensiones. Aplicaciones al procesamiento y análisis de imágenes: filtrado, detección de bordes y compresión.
G3 — Ecuaciones en Derivadas Parciales
Introducción a las EDPs y ecuaciones de primer orden
Clasificación de las ecuaciones en derivadas parciales. Método de las características para ecuaciones de primer orden. Condición de Cauchy. Dominios de dependencia e influencia.
Ecuaciones de segundo orden y condiciones de contorno
Clasificación de las EDPs de segundo orden: tipo elíptico, hiperbólico y parabólico. Condiciones de contorno de Dirichlet, Neumann y Robin. Existencia y unicidad de soluciones.
Separación de variables en coordenadas cartesianas
Método de separación de variables aplicado a problemas con geometría cartesiana. Funciones propias y valores propios. Problema de Sturm-Liouville. Expansión en series de autofunciones.
Separación de variables en coordenadas cilíndricas y esféricas
Extensión del método de separación de variables a geometrías curvilíneas. Funciones de Bessel y sus propiedades. Armónicos esféricos. Polinomios de Legendre.
Ecuación de Laplace
Propiedades de las funciones armónicas. Teorema de la media. Principio del máximo. Resolución de la ecuación de Laplace en distintas geometrías con diversas condiciones de contorno. Aplicaciones en electrostática y dinámica de fluidos.
Ecuación de Poisson
Extensión de la ecuación de Laplace a problemas con fuentes. Métodos de resolución. Relación con la función de Green. Aplicaciones físicas.
Ecuación de ondas
Derivación de la ecuación de ondas a partir de principios físicos. Solución general de d’Alembert en 1D. Reflexión y transmisión. Modos normales. Resolución mediante separación de variables y transformada de Fourier.
Ecuación de difusión
Derivación de la ecuación de difusión (del calor). Propiedades de regularización. Solución fundamental (kernel de calor). Resolución con condiciones de contorno e iniciales. Comparación con la ecuación de ondas.
Funciones de Green
Concepto de función de Green como respuesta impulsiva de un operador diferencial. Construcción de funciones de Green para operadores elípticos, hiperbólicos y parabólicos. Aplicaciones a los problemas de Laplace, Poisson, ondas y difusión.
Métodos numéricos: diferencias finitas
Discretización de EDPs mediante diferencias finitas. Esquema FTCS (Forward-Time Centered-Space) para la ecuación de difusión. Estabilidad numérica y condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL).
EDPs no lineales: método de Galerkin
Introducción a las EDPs no lineales de interés físico. Formulación débil de una EDP. El método de Galerkin como técnica de proyección sobre subespacios funcionales. Ejemplos de aplicación.
Métodos espectrales
Fundamentos de los métodos espectrales para la resolución numérica de EDPs. Expansión en bases globales (Fourier, Chebyshev). Comparación con diferencias finitas y elementos finitos. Aplicaciones a problemas de dinámica de fluidos y física matemática.