En la práctica del 1/10 abordamos los ejercicios 4 y 6 de la guía 4, donde vimos las herramientas importantes para evaluar la presencia de ciclos límite y caracterizar una bifurcación de Hopf. En esta clase, aplicamos las herramientas analíticas, dadas en la teórica, para determinar la existencia de oscilaciones autosostenidas y ciclos límite aislados.
En el ejercicio 4, pasamos el sistema a coordenadas polares para analizar por separado la dinámica radial y la angular. Comprobamos que, al ser la velocidad angular estrictamente negativa, se descarta la presencia de puntos fijos en el plano salvo en el origen. Esto nos permitió construir una región de tipo anillo para la cual el flujo siempre entra, garantizando la existencia de al menos un ciclo límite por el Teorema de Poincaré-Bendixson. Además, al integrar la velocidad angular en una vuelta completa, vimos que el período de oscilación depende únicamente de los parámetros del sistema y no de la condición inicial ni del radio, por lo que todas las órbitas cerradas concéntricas dentro de la región comparten exactamente el mismo período.
En el ejercicio 6, estudiamos el nacimiento de oscilaciones mediante la bifurcación de Hopf cuando un par de autovalores complejos conjugados del jacobiano cruza el eje imaginario al variar un parámetro. Como en el valor crítico del parámetro el punto fijo en el origen no es hiperbólico al tener autovalores de parte real nula, el teorema de Hartman-Grobman nos indica que la linealización no es informativa sobre la estabilidad local. Por lo tanto, debemos estudiar el sistema no lineal completo para determinar si la bifurcación es supercrítica (donde para el parámetro positivo nace un ciclo límite estable) o subcrítica (donde existe un ciclo límite inestable rodeando al origen estable).
Van a poder encontrar las herramientas interactivas en el siguiente link o también en el siguiente archivo para correr de manera local. En el visualizador van a poder seleccionar los distintos sistemas de la guía (o ingresar uno personalizado); integrar trayectorias en el espacio de fases hacia adelante o hacia atrás en el tiempo; observar la trayectoria de los autovalores en el plano complejo; y construir numéricamente el diagrama de bifurcación en tiempo real para determinar si la Hopf es supercrítica o subcrítica en los distintos sistemas estudiados en el ejercicio 6.
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