Etiqueta: Problemas resueltos

Hoy, en la clase de práctica, primero vimos un resultado general para pasar de sumas sobre estados a integrales en el espacio de fase: la aproximación semiclásica. Verificamos con detalle este resultado para el gas en la caja. Dijimos que también es fácil de verificar para el gas en una trampa armónica. [Aquí] pueden bajar un apunte de los días idos, con varios métodos para pasar de la suma sobre estados a integrales en el caso de la trampa armónica, incluida la aproximación semiclásica.

La mayor parte de la clase la dedicamos a resolver los problemas de paramagnetismo de Pauli que están en la guía. [Aquí] pueden bajar un apunte con los dos problemas, lleno de arcaísmos propios de la época en la que fue redactado, o acaso transcripto de fuentes aún más lejanas.

Hasta ahora vinimos esquivando con mucha gracia las funciones de Fermi-Dirac. La clase que viene se acabó la fiesta de la temperatura cero, que se paga con la tuya.

Al igual que todo lo que se contempla retrospectivamente, nada es casual en esta materia. Como todos (inevitablemente) sabrán, ayer se celebró el cumpleaños de Chandrasekhar. Sus amigos preferían llamarlo por su patronímico: Subrahmanyan, sobre todo para evitar confusiones con su tocayo: Sivaramakrishna Chandrasekhar. Subrahmanyan Chandrasekhar, para decirlo brevemente, es famoso, entre muchísimas cosas, por el problema de la estabilidad de las enanas blancas, que hoy vimos en la clase práctica.

Este cuatrimestre, el problema quedó fuera de la guía, pero [aquí (corregido)] pueden bajar el enunciado y su resolución, escritos en un dialecto del sánscrito con reminiscencias del español moderno. Les dejo la siguiente pregunta, un poco tramposa: ¿por qué buscamos el equilibrio del sistema minimizando la energía y no maximizando la entropía, como correspondería a un sistema aislado? ¿La respuesta tiene que ver con que hayamos considerado que el gas de electrones está a temperatura cero?

Ayer en la práctica vimos un tema tabú: la función de partición canónica de partículas idénticas no interactuantes. [Aquí] pueden bajar la clase.

El único libro que conozco en donde se calcula esta función de partición es el libro de Feynman, y de una manera mucho más complicada que la que vimos ayer, pero tal vez más interesante, técnicamente hablando. Calcular esta función de partición sirve para mostrar la verdadera naturaleza del factor de conteo correcto de Boltzmann. El nombre incluye dos grandes mentiras: no es correcto y tampoco es de Boltzmann, sino de Gibbs.

Considerado como factor de corrección al conteo de un problema combinatorio es, dicho sin el énfasis que se merece, inexacto. En condiciones normales, para un mol de gas ideal, el factor de conteo correcto de Boltzmann solo corrige correctamente la contribución de una fracción del orden de 10^10-16 de los estados accesibles. No solo no es una buena práctica tratar de arreglar los problemas combinatorios que involucran objetos idénticos dividiendo todo por N!, sino que, aun en los casos en los que uno sospecharía que ese procedimiento tiene alguna posibilidad de ser razonable, esta práctica puede fallar alevosamente.

La mayoría de los autores señala que, para un gas diluido, la probabilidad de que dos partículas compartan el mismo estado es minúscula. No faltan motivos para esta afirmación: en condiciones normales, hay 10²³ partículas y existen del orden de 10³⁰ estados accesibles. ¡Podríamos dejar 10 millones de estados libres entre cada partícula! ¿Quién no pensaría que ese es argumento suficiente para decir que la mayoría de los estados de las N partículas van a corresponder a partículas en estados diferentes? Pues no, no ocurre eso. La intuición falla en el problema del cumpleaños para una decena de personas con un año de 365 días, y falla, con más razón, en el problema del cumpleaños para un mol de personas con un año de 10³⁰ días.

Esa es la recomendación del autor de un paper.

[Aquí] pueden bajar un parcial en donde está resuelto el problema de efusión que vimos hoy. [Aquí] pueden bajar otro parcial con un problema de efusión distinto. Por si esto fuera poco, [aquí] pueden bajar un recuperatorio con otro problema de efusión.

Bueno, no toda la clase práctica de hoy, sino los problemas 10 y 13 de la Guía 3, [aquí] y [aquí]. También vimos la solución del gas ideal en la caja en los tres ensambles y el problema del ajedrez.

[Aquí] pueden bajar un apunte en donde está resuelto el problema que vimos en la práctica de hoy. Se trata del gas reticular, y resume muchos conceptos importantes en un problema que no es especialmente complicado, aunque por el momento pueda parecerles lo contrario.

Volviendo un poco a la clase práctica del lunes pasado, [aquí] pueden encontrar un ejercicio de parcial acerca de los defectos de Frenkel, con el énfasis puesto en las fluctuaciones. En la página de ese cuatrimestre, está el problema resuelto.