Etiqueta: Problemas resueltos

Se cumplieron hace poco 100 años de la publicación del [paper] que dio origen a todo. Extrañamente, no hay, o no pude encontrar, una reimpresión en inglés. Sí hay [aquí] una traducción muy cuidada, pero en forma de página web un tanto vintage. Se entiende todo, salvo por un error de traducción que convirtió las fracciones simples en fracciones continuas, y que vuelve las cosas misteriosas. (Hay también una errata en la ecuación sin numerar que sigue a la que lleva el número 7).

Ising resuelve el modelo de Ising mediante combinatoria. Lo que hace no es más difícil que los problemas que vimos acerca de distribuir objetos indistinguibles en cajas distinguibles. Es cierto que, como en el método de las barras y estrellas, es necesario inventar una representación visual del problema combinatorio.

El paper de Ising es, después de todo, un paper, y aunque no usa un estilo lacónico, Ising escribe, para alegría del editor, una ecuación de cada tres, de modo que uno debe llenar los vacíos. Tiene varios pasos de esos que a uno no se le hubieran ocurrido nunca. La ventaja es que, si leen el paper, ahora esos pasos sí se les pueden ocurrir, y tal vez se les puedan ocurrir otros. Al principio uno se enoja con los autores demasiado ingeniosos, pero, aunque es bueno descubrir las cosas uno mismo, es preferible enterarse por otros que no vivir en una honesta ignorancia.

Comparado con el método de la matriz de transferencia que vimos hoy, el método que sigue Ising es intrincado. Había, después de todo, personas más ingeniosas que Ising.

[Aquí] (y esta es la principal contribución de este posteo) pueden bajar un apunte que explica con detalle lo que hace Ising en su paper, en particular salva los vacíos que deja entre una ecuación y la siguiente. El título de este posteo debería ser “El modelo de Ising en palabras puestas en boca de su autor”, porque no faltará alguna mala interpretación.

Ising encuentra la función de partición canónica calculando primero la función de partición gran canónica, un método que aplicamos nosotros al problema de las partículas idénticas. Pero más que estar pensando en el ensamble gran canónico, que tal vez no conociera, Ising está pensando en funciones generatrices. Quizá el método de la función generatriz fuera tan familiar para Ising que tampoco siente la necesidad de explicar que calcula la función generatriz. Es decir, en este punto Ising se expresa de manera muy extraña.

La primera edición del libro de Pathria (que encuentran en su Campus amigo), también tiene una versión del modelo de Ising resuelto por combinatoria. Pero Pathria escapa por el lado del método del término máximo. Lo interesante es calcular la función de partición de manera exacta.

Onsager resolvió el modelo de Ising sin campo en varias redes bidimensionales usando el método de la matriz de transferencia. Sin embargo, según Pathria, con el tiempo, la forma más sencilla de resolver el problema terminó siendo mediante combinatoria. Debe ser una combinatoria complicada. Lo que quiero decir es que la matriz de transferencia está muy bien, pero los métodos combinatorios también son poderosos. En todo caso, como dice Feynman, posiblemente refiriéndose a una cosa completamente distinta:

Every theoretical physicist who is any good knows six or seven different theoretical representations for exactly the same physics. He knows that they are all equivalent, and that nobody is ever going to be able to decide which one is right at that level, but he keeps them in his head, hoping that they will give him different ideas for guessing.